São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância indutiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
v(t)=10 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t+45^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado fornece a tensão aplicada a uma reatância indutiva de 20\\ \Omega e pede a corrente correspondente. Dados e o que é pedido:
v(t)=10\cdot\operatorname{sen}\left(377\cdot t+45^{\circ}\right)
Reatância indutiva: X_{L}=20\\ \Omega.
Pergunta: determinar a expressão senoidal para a corrente i(t) que corresponde a essa tensão sobre a reatância.

Passo 2

Entendendo a relação entre tensão e corrente em uma reatância indutiva (aula curta e prática):
  • Para um indutor ideal, a lei no domínio do tempo é \displaystyle v(t)=L\frac{di(t)}{dt}. Aqui L é a indutância (em henrys), v(t) e i(t) são funções do tempo.
  • Em regime senoidal estacionário (mesma frequência \omega para tensão e corrente), é muito prático usar representação fasorial. A regra simples que precisamos é:
\text{se }V=\text{fasor da tensão (amplitude pico, fase)}\quad\text{e}\quad Z=jX_{L},ã
então
I=\frac{V}{Z}.
Explicando sem jargão: dividir por j equivale a deslocar a fase em -90^\circ. Aqui j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Usamos amplitudes de pico (não RMS) para ficar consistente com 10 no enunciado.

Passo 3

Converto a tensão dada para o fasor (amplitude pico e fase):
V=10\angle 45^\circ.
A impedância da reatância indutiva é
Z=jX_{L}=j\cdot 20.
Agora calcule o fasor da corrente:
I=\frac{V}{Z}=\frac{10\angle 45^\circ}{j\,20}=\frac{10}{20}\angle(45^\circ-90^\circ).
Detalhando a operação de fase: dividir por j subtrai 90^\circ da fase do numerador.

Passo 4

Faço a aritmética dos módulos e das fases:
\frac{10}{20}=0,5
e
45^\circ-90^\circ=-45^\circ.
Logo o fasor da corrente é
I=0,5\angle -45^\circ.

Passo 5

Converto o fasor de volta para o domínio do tempo (forma senoidal de pico):
A regra é: se I=I_{m}\angle\varphi, então
i(t)=I_{m}\cdot\operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Aqui \omega=377 (rad/s), I_{m}=0,5 e \varphi=-45^\circ. Portanto
i(t)=0,5\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\;t-45^{\circ}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (bom para prova!): derive i(t) e use v(t)=L\,di/dt para checar se volta a v(t).
  • Primeiro, podemos obter L de X_{L}=\omega L, logo
L=\frac{X_{L}}{\omega}=\frac{20}{377}\\ \text{H}.
  • Derivando i(t):
\frac{di}{dt}=0,5\cdot 377\cdot\cos\bigl(377t-45^\circ\bigr)=188{,}5\cos\bigl(377t-45^\circ\bigr).
  • Multiplicando por L:
v(t)=L\frac{di}{dt}=\frac{20}{377}\cdot 188{,}5\cos\bigl(377t-45^\circ\bigr)=10\cos\bigl(377t-45^\circ\bigr).
Usando \cos(\theta)=\sin(\theta+90^\circ) obtemos
v(t)=10\sin\bigl(377t+45^\circ\bigr),
que é exatamente a tensão dada. Tudo confere.

Resposta

i(t)=0,5\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\;t-45^{\circ}\bigr)

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