São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância indutiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
i(t)=2 \cdot \operatorname{sen}\left(1000 \cdot t-30^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado dá uma reatância indutiva de 20\\ \Omega e a corrente passando por ela
i(t)=2\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000\cdot t-30^\circ\bigr).
A pergunta (implícita) é: determinar a expressão senoidal da tensão v(t) nessa reatância indutiva.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar a relação entre tensão e corrente em uma reatância indutiva, de forma bem didática:
  • Se a indutância é L, a lei básica no tempo contínuo é
v(t)=L\,\frac{d i(t)}{dt},
onde v(t) é a tensão instantânea em volts, i(t) é a corrente instantânea em ampères, L é a indutância em henry e \frac{d i(t)}{dt} é a derivada da corrente em relação ao tempo.
  • Em regime senoidal, é comum usar a reatância indutiva \,X_L=\omega L\,, onde \omega é a frequência angular ( \omega em rad/s). Assim L=\dfrac{X_L}{\omega}.
  • Outra forma bem útil é a representação fasorial: se a corrente fasorial de pico é I=I_m\angle\varphi, a impedância da reatância indutiva é Z=jX_L (o fator j indica um avanço de 90^\circ). Então a tensão fasorial é
V = I\cdot Z = I_m\angle\varphi \cdot X_L\angle 90^\circ = (I_m X_L)\angle(\varphi+90^\circ).
Ao voltar ao domínio do tempo com amplitude de pico, isso corresponde a um avanço de 90^\circ na fase da tensão em relação à corrente e magnitude multiplicada por X_L.
Vou usar ambas as abordagens (derivada direta e fasorial) para ficar claro.

Passo 3

Primeiro calculemos L a partir de X_L e \omega. Do enunciado temos \omega=1000\\ \text{rad/s} (porque aparece 1000\cdot t no argumento do seno) e X_L=20\\ \Omega. Assim
L=\frac{X_L}{\omega}=\frac{20}{1000}=0{,}02\\ \text{H}.
Agora aplicamos a fórmula v(t)=L\,\dfrac{d i(t)}{dt}. Começamos derivando i(t):
i(t)=2\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000 t-30^\circ\bigr).
A derivada de \operatorname{sen}(1000 t-30^\circ) em relação a t é 1000\cdot \cos(1000 t-30^\circ). Logo
\frac{d i(t)}{dt}=2\cdot 1000\cdot \cos\!\bigl(1000 t-30^\circ\bigr)=2000\cdot \cos\!\bigl(1000 t-30^\circ\bigr).
Multiplicando por L=0{,}02\\ \text{H}:
v(t)=L\frac{d i(t)}{dt}=0{,}02\cdot 2000\cdot \cos\!\bigl(1000 t-30^\circ\bigr)=40\cdot \cos\!\bigl(1000 t-30^\circ\bigr).
Agora convertemos \cos para \operatorname{sen}. Lembre que \cos(\theta)=\operatorname{sen}(\theta+90^\circ). Assim
v(t)=40\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000 t-30^\circ+90^\circ\bigr)=40\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000 t+60^\circ\bigr).

Passo 4

Para reforçar a ideia, fazemos a mesma conclusão pela visão fasorial (mais curta e muito usada em prova):
  • A fasor de corrente de pico é I=2\angle -30^\circ.
  • A impedância da reatância indutiva é Z=jX_L=20\angle 90^\circ.
  • Então a fasor da tensão é V=I\cdot Z=2\angle -30^\circ\cdot 20\angle 90^\circ=40\angle 60^\circ.
  • Voltando ao tempo: v(t)=40\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000 t+60^\circ\bigr).
As duas abordagens chegam ao mesmo resultado: amplitude de pico 40\\ \text{V} e fase +60^\circ.

Passo 5

Intuição rápida para fixar: em uma indutância a tensão “antecipa” (lead) a corrente em 90^\circ. A corrente tinha fase -30^\circ, então a tensão fica em -30^\circ+90^\circ=+60^\circ. A magnitude aumenta de 2\\ \text{A} para 2\cdot 20=40\\ \text{V}, porque a tensão de pico é corrente de pico vezes a reatância.

Resposta

v(t)=40\cdot \operatorname{sen}\!\bigl(1000\cdot t+60^\circ\bigr)

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