São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância indutiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
i(t)=-10 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t+90^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá a corrente em uma reatância indutiva de 20\\ \Omega como
i(t)=-10\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t+90^\circ\right).
A tarefa é determinar a expressão senoidal para a tensão correspondente v(t) nessa reatância.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A corrente tem amplitude (valor de pico) 10 e a função está escrita em termos de \operatorname{sen}.
  • A pulsação (frequência angular) é \omega=377\\ \text{rad/s}.
  • A reatância indutiva é X_L=20\\ \Omega.
  • Precisamos achar v(t), a tensão senoidal no indutor (ou reatância indutiva).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Para um indutor em regime senoidal estacionário existem duas formas equivalentes de relacionar tensão e corrente:
    1. No domínio do tempo: a tensão é v(t)=L\,\dfrac{di(t)}{dt}, onde L é a indutância (em henry), i(t) é a corrente (em ampère) e v(t) é a tensão (em volt). Aqui \dfrac{d}{dt} significa derivada em relação ao tempo.
    2. No domínio fasorial (frequência): usando fasores, a relação entre o fasor da tensão V e o fasor da corrente I é
    V = j\,X_L\,I,onde j é a unidade imaginária (no contexto elétrico j^2=-1) e X_L=\omega L é a reatância indutiva (em \Omega). Essa relação significa que a tensão tem magnitude X_L vezes a corrente e defasagem de +90^\circ (a tensão “adianta” a corrente em 90^\circ num indutor).
  • No nosso problema é prático usar a regra: "em um indutor, v tem amplitude V_{m}=X_L\cdot I_{m} e defasagem \varphi_V=\varphi_I+90^\circ", onde I_m e \varphi_I são amplitude e fase da corrente (na mesma referência trigonométrica, aqui \operatorname{sen}).

Passo 3

Colocar a corrente em forma de amplitude e fase (fasor) usando a mesma referência trigonométrica ( \operatorname{sen}):
  • Observação sobre o sinal negativo: -10\operatorname{sen}(\theta)=10\operatorname{sen}(\theta+180^\circ). Então podemos reescrever
i(t) = 10\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t+90^\circ+180^\circ\right) = 10\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t+270^\circ\right).
  • Portanto o valor de pico (amplitude) da corrente é I_{m}=10 e a fase da corrente é \varphi_I=270^\circ. Em notação fasorial (com referência sen),
I = 10\angle 270^\circ.

Passo 4

Calcular a tensão em fasor usando V = j X_L I:
  • Magnitude: V_{m} = X_L\cdot I_{m} = 20\cdot 10 = 200.
  • Fase: \varphi_V = \varphi_I + 90^\circ = 270^\circ + 90^\circ = 360^\circ. Como 360^\circ é equivalente a 0^\circ, a fase da tensão é 0^\circ.
  • Assim o fasor da tensão é
V = 200\angle 0^\circ.

Passo 5

Converter o fasor de volta para o domínio do tempo (mesma referência \operatorname{sen}):
  • A expressão temporal correspondente é
v(t)=200\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t + 0^\circ\right).
  • Podemos simplificar escrevendo
v(t)=200\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t\right).

Passo 6

Verificação alternada (checagem por derivada) — para você ver que bate:
  • Primeiro achar L a partir de X_L=\omega L:
L=\dfrac{X_L}{\omega}=\dfrac{20}{377}\\ \text{H}.
  • Calcular \dfrac{di(t)}{dt}: usando i(t)=-10\operatorname{sen}(377t+90^\circ),
\dfrac{di(t)}{dt} = -10\cdot 377\cdot \cos\left(377t+90^\circ\right).
Usando \cos(\alpha+90^\circ)=-\operatorname{sen}(\alpha) obtemos
\dfrac{di(t)}{dt} = -10\cdot 377\cdot \left(-\operatorname{sen}(377t)\right) = 10\cdot 377\cdot \operatorname{sen}(377t).
  • Então
v(t)=L\cdot \dfrac{di(t)}{dt} = \dfrac{20}{377}\cdot \left(10\cdot 377\cdot \operatorname{sen}(377t)\right)=200\cdot \operatorname{sen}(377t),
o que confirma o resultado do passo anterior.

Resposta

v(t)=200\cdot \operatorname{sen}\left(377\cdot t\right)

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