São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância indutiva de
. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
.
Passo 1
O enunciado dá a corrente em uma reatância indutiva de
como
A tarefa é determinar a expressão senoidal para a tensão correspondente
nessa reatância.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A corrente tem amplitude (valor de pico)
e a função está escrita em termos de . - A pulsação (frequência angular) é
. - A reatância indutiva é
. - Precisamos achar
, a tensão senoidal no indutor (ou reatância indutiva).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Para um indutor em regime senoidal estacionário existem duas formas equivalentes de relacionar tensão e corrente:
- No domínio do tempo: a tensão é
, onde é a indutância (em henry), é a corrente (em ampère) e é a tensão (em volt). Aqui significa derivada em relação ao tempo. - No domínio fasorial (frequência): usando fasores, a relação entre o fasor da tensão
e o fasor da corrente é
onde é a unidade imaginária (no contexto elétrico ) e é a reatância indutiva (em ). Essa relação significa que a tensão tem magnitude vezes a corrente e defasagem de (a tensão “adianta” a corrente em num indutor). - No domínio do tempo: a tensão é
- No nosso problema é prático usar a regra: "em um indutor,
tem amplitude e defasagem ", onde e são amplitude e fase da corrente (na mesma referência trigonométrica, aqui ).
Passo 3
Colocar a corrente em forma de amplitude e fase (fasor) usando a mesma referência trigonométrica (
):
- Observação sobre o sinal negativo:
. Então podemos reescrever
- Portanto o valor de pico (amplitude) da corrente é
e a fase da corrente é . Em notação fasorial (com referência sen),
Passo 4
Calcular a tensão em fasor usando
:
- Magnitude:
- Fase:
Como é equivalente a , a fase da tensão é . - Assim o fasor da tensão é
Passo 5
Converter o fasor de volta para o domínio do tempo (mesma referência
):
- A expressão temporal correspondente é
- Podemos simplificar escrevendo
Passo 6
Verificação alternada (checagem por derivada) — para você ver que bate:
- Primeiro achar
a partir de :
- Calcular
: usando ,
Usando
obtemos
- Então
o que confirma o resultado do passo anterior.