São dados dois vetores:
a=(4,0 m) i-(3,0 m) j e b=(6,0 m) i+(8,0 m) j
Determine (a) o módulo e (b) o ângulo (em relação a i ) de a. Determine © o módulo e (d) o ângulo de b. Determine (e) o módulo e (f) o ângulo de a+b; (g) o módulo e (h) o ângulo de b-a; (i) o módulo e (j) o ângulo de a-b. (k) Determine o ângulo entre as direções de b-a e a-b.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores no plano
vec a = (4, -3)evec b = (6, 8)
E a gente tem que achar, pra cada um:
a) módulo
b) ângulo em relação ao ê̂̂-hat (eixo )
Depois fazer isso tambeḿ pra , pra e pra . No final, achar o ângulo entre e .
Matéria envolvida: vetores no plano, módulo ( ) e ângulo ( com cuidado de quadrante).

Passo 2

Vetor |vec a| = raiz4^2 + (-3)^2 = raiz16+9 = raiz25 = 5
  1. Módulo:
thetaa = arctan!l(tfracyxr) = arctan!l(tfrac-34r)approx -36,87^circ
  1. Ângulo:
Como e , estamos no 4.º quadrante, então também dá .

Passo 3

Vetor |vec b| = raiz6^2 + 8^2 = raiz36+64 = raiz100 = 10
  1. Módulo:
thetab = arctan!l(tfrac86r)approx 53,13^circ
  1. Ângulo:
Aqui , quadrante 1, sem ajuste.

Passo 4

Vetor |vec a+vec b| = raiz10^2 + 5^2 = raiz100+25 = raiz125 = 5raiz5approx 11,18
  1. Módulo:
thetaa+b = arctan!l(tfrac510r) = arctan(0,5)approx 26,57^circ
  1. Ângulo:
(1.º quadrante)

Passo 5

Vetor |vec b-vec a| = raiz2^2 + 11^2 = raiz4+121 = raiz125 = 5raiz5approx 11,18
  1. Módulo:
thetab-a = arctan!l(tfrac112r)approx 79,70^circ
  1. Ângulo:
(1.º quadrante)

Passo 6

Vetor |vec a-vec b| = raiz(-2)^2 + (-11)^2 = raiz4+121 = raiz125 = 5raiz5approx 11,18
  1. Módulo:
thetaa-b = arctan!l(tfrac-11-2r)approx 79,70^circ
  1. Ângulo:
thetaa-b = 180^circ + 79,70^circ = 259,70^circ
Mas como , 3.º quadrante:

Passo 7

Ângulo entre (vec b-vec a)cdot(vec a-vec b) = (2,11)cdot(-2,-11) = -4 -121 = -125 e cosphi = -125125 = -1 ;Longrightarrow; phi = 180^circ . A gente pode usar produto escalar:
E .

Resposta

a)
b) (ou )
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k) Ângulo entre e :

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