São dados, no plano,
pontos tais que entre as retas por eles determinadas não há duas retas paralelas. Quantos são, no máximo, os pontos de interseção dessas retas que são distintos dos pontos dados?
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de geometria no plano. O enunciado fala que temos n pontos e, entre as retas que ligam esses pontos, não tem duas retas paralelas. A pergunta é: qual é o máximo de pontos de interseção dessas retas, que não são os pontos originais que já temos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de combinações e como as retas se intersectam no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quantas retas são formadas com n pontos. Cada reta é determinada por 2 pontos, então usamos a combinação de n elementos tomados 2 a 2:
Passo 3
Agora, vamos pensar em quantos pontos de interseção essas retas podem ter. Como nenhuma das retas é paralela, cada par de retas se intercepta em um ponto único. Então, o número total de pontos de interseção é a combinação das retas tomadas 2 a 2:
Passo 4
Entretanto, alguns desses pontos de interseção são os n pontos originais que a gente já tinha. Precisamos subtrair essas interseções duplicadas. Para cada um dos n pontos, há C(n-1, 2) interseções que passam por ele (porque cada ponto está na interseção de n-1 retas):
Passo 5
Então, o número máximo de pontos de interseção distintos dos originais é o total de interseções menos as que já estão nos pontos dados:
Passo 6
Simplificando a expressão, chegamos a:
Resposta
O número máximo de pontos de interseção distintos dos pontos originais é: