Sao dados os pontos A(2,3) e B(8,5). Determine a equação da mediatriz de AB.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, A(2, 3) e B(8, 5), e precisa encontrar a equação da mediatriz do segmento AB. A mediatriz é uma reta que corta AB exatamente no meio e é perpendicular a AB. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto médio entre A e B, calcular a inclinação de AB e depois determinar a inclinação da mediatriz (que é o negativo do inverso da inclinação de AB). Por fim, usamos esses dados para montar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento AB. A fórmula para o ponto médio $ M $ entre dois pontos $ A(x_1, y_1) $ e $ B(x_2, y_2) $ é:
M
Aplicando os valores de A(2, 3) e B(8, 5):
A(x1, y1)
Então, o ponto médio é $ M(5, 4) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inclinação da reta AB. A inclinação $ m $ entre dois pontos é dada por:
m
Substituindo os valores de A e B:
m = y2 - y1x2 - x1
A inclinação de AB é $ \frac{1}{3} $.

Passo 4

A mediatriz é perpendicular a AB, então a inclinação da mediatriz $ m_{mediatriz} $ é o negativo do inverso da inclinação de AB. Ou seja:
mmediatriz
Então, a inclinação da mediatriz é $ -3 $.

Passo 5

Agora que temos a inclinação da mediatriz e um ponto por onde ela passa (o ponto médio $ M(5, 4) $), usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
M(5, 4)
Substituindo $ m = -3 $ e $ M(5, 4) $:
y - y1 = m(x - x1)

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão ou a forma mais simples possível:
y - 4 = -3x + 15
y = -3x + 15 + 4
y = -3x + 19

Resposta

A equação da mediatriz de AB é $ y = -3x + 19 $.

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