São dados três deslocamentos em metros: \overrightarrow{d_{1}}=4,0 \hat{\imath}+5,0 \hat{\jmath}-6,0 \hat{k}, \overrightarrow{d_{2}}=-1,0 \hat{\imath}+2,0 \hat{\jmath}+ 3,0 \hat{k}, \overrightarrow{d_{3}}=4,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k}. Determine \vec{r}=\overrightarrow{d_{1}}+\overrightarrow{d_{2}}+\overrightarrow{d_{3}} e o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos em metros e pede duas coisas:
  • Determinar o vetor soma \vec{r}=\overrightarrow{d_{1}}+\overrightarrow{d_{2}}+\overrightarrow{d_{3}}.
  • Determinar o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.
Informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
  • \overrightarrow{d_{1}}=4,0\\ \hat{\imath}+5,0\\ \hat{\jmath}-6,0\\ \hat{k} (m)
  • \overrightarrow{d_{2}}=-1,0\\ \hat{\imath}+2,0\\ \hat{\jmath}+3,0\\ \hat{k} (m)
  • \overrightarrow{d_{3}}=4,0\\ \hat{\imath}+3,0\\ \hat{\jmath}+2,0\\ \hat{k} (m)
O que será devolvido no final: o vetor \vec{r} e o valor do ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.

Passo 2

Somar vetorialmente componente a componente. Regra: para vetores em coordenadas cartesianas somam-se separadamente as componentes x, y e z. Escrevendo as componentes:
\overrightarrow{d_{1}}=(4,0,\;5,0,\;-6,0),\qquad \overrightarrow{d_{2}=}(-1,0,\;2,0,\;3,0),\qquad \overrightarrow{d_{3}}=(4,0,\;3,0,\;2,0).
Agora a soma componente a componente:
r_x = 4,0 + (-1,0) + 4,0,
r_y = 5,0 + 2,0 + 3,0,
r_z = -6,0 + 3,0 + 2,0.

Passo 3

Calcular cada componente numericamente, mostrando as contas:
r_x = 4,0 - 1,0 + 4,0 = 7,0,
r_y = 5,0 + 2,0 + 3,0 = 10,0,
r_z = -6,0 + 3,0 + 2,0 = -1,0.
Portanto o vetor soma é
\vec{r} = 7,0\\ \hat{\imath} + 10,0\\ \hat{\jmath} - 1,0\\ \hat{k}\quad(\text{m}).

Passo 4

Agora vamos achar o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo. Ferramenta: produto escalar.
Lembra do produto escalar em coordenadas cartesianas? Para dois vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) vale
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Além disso, o produto escalar também se relaciona ao ângulo \theta entre os vetores por
\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\theta,
onde |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} é o módulo (norma) de \vec{a}.
No nosso caso queremos o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo, cujo vetor unitário é \hat{k}=(0,0,1). Usando \vec{b}=\hat{k} e sabendo que |\hat{k}|=1, obtemos
\cos\theta = \frac{\vec{r}\cdot\hat{k}}{|\vec{r}|} = \frac{r_z}{|\vec{r}|}.
Ou seja, basta calcular a componente z de \vec{r} e o módulo de \vec{r}.

Passo 5

Calcular o módulo de \vec{r}.
Fórmula do módulo:
|\vec{r}|=\sqrt{r_x^2 + r_y^2 + r_z^2}.
Substituindo as componentes que encontramos:
|\vec{r}|=\sqrt{7,0^{2} + 10,0^{2} + (-1,0)^{2}} =\sqrt{49,0 + 100,0 + 1,0} =\sqrt{150,0}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{150,0}=\sqrt{25\cdot 6}=5\sqrt{6}\approx 12,247\\ (\text{m}).

Passo 6

Calcular \cos\theta e então \theta.
\cos\theta = \frac{r_z}{|\vec{r}|}=\frac{-1,0}{5\sqrt{6}} = -\frac{1}{5\sqrt{6}}\approx -0,08165.
Agora \theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{1}{5\sqrt{6}}\right). Calculando numericamente:
\theta \approx 94,68^\circ \approx 1,653\\ \text{rad}.
Interpretação rápida: o cosseno negativo indica que o ângulo com o semieixo z positivo é maior que 90^\circ, ou seja, \vec{r} tem componente z ligeiramente negativa (apontando um pouco para baixo).

Resposta

\vec{r}=7,0\\ \hat{\imath}+10,0\\ \hat{\jmath}-1,0\\ \hat{k}\\ \text{(m)}
\theta \approx 94,68^\circ (ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo, aproximadamente 1,653\\ \text{rad})

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