São dados três deslocamentos em metros: \overrightarrow{d_{1}}=4,0 \hat{\imath}+5,0 \hat{\jmath}-6,0 \hat{k}, \overrightarrow{d_{2}}=-1,0 \hat{\imath}+2,0 \hat{\jmath}+ 3,0 \hat{k}, \overrightarrow{d_{3}}=4,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k}. Determine \vec{r}=\overrightarrow{d_{1}}+\overrightarrow{d_{2}}+\overrightarrow{d_{3}} e o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.
Passo 1
O enunciado dá três deslocamentos em metros e pede duas coisas:
Determinar o vetor soma \vec{r}=\overrightarrow{d_{1}}+\overrightarrow{d_{2}}+\overrightarrow{d_{3}}.
Determinar o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.
Informações dadas (peguei estes valores do enunciado):
O que será devolvido no final: o vetor \vec{r} e o valor do ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo.
Passo 2
Somar vetorialmente componente a componente. Regra: para vetores em coordenadas cartesianas somam-se separadamente as componentes x, y e z. Escrevendo as componentes:
onde |\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2} é o módulo (norma) de \vec{a}.
No nosso caso queremos o ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo, cujo vetor unitário é \hat{k}=(0,0,1). Usando \vec{b}=\hat{k} e sabendo que |\hat{k}|=1, obtemos
Interpretação rápida: o cosseno negativo indica que o ângulo com o semieixo z positivo é maior que 90^\circ, ou seja, \vec{r} tem componente z ligeiramente negativa (apontando um pouco para baixo).
Resposta
\vec{r}=7,0\\ \hat{\imath}+10,0\\ \hat{\jmath}-1,0\\ \hat{k}\\ \text{(m)} \theta \approx 94,68^\circ (ângulo entre \vec{r} e o semieixo z positivo, aproximadamente 1,653\\ \text{rad})