Considere um 4-vetor unitário \vec{U} do tipo tempo e o tensor
\overleftrightarrow{P}_{\vec{U}}=\overleftrightarrow{\eta}+\vec{U} \otimes \vec{U}
Mostre que esse é um operador de projeção que projeta um vetor arbitrário \vec{V} em um vetor perpendicular a \vec{U}. Ou seja, mostre que o vetor \vec{V}_{\perp} de componentes
V_{\perp}^{\alpha}=P^{\alpha}{ }_{\beta} V^{\beta}
é:
(a) ortogonal a \vec{U};
(b) inalterado por projeções adicionais
V_{\perp \perp}^{\alpha} \equiv P^{\alpha}{ }_{\beta} V_{\perp}^{\beta}=V_{\perp}^{\alpha} .
(c) Mostre que P_{\alpha \beta} é o tensor métrico para vetores ortogonais a \vec{U} :
P_{\alpha \beta} V_{\perp}^{\alpha} W_{\perp}^{\beta}=\vec{V}_{\perp} \cdot \vec{W}_{\perp}
(d) Mostre que para um 4-vetor não-nulo arbitrário \vec{q}, o tensor de projeção é dado por
\overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q} \otimes \vec{q}}{\vec{q} \cdot \vec{q}}
É necessário um tensor de projeção para vetores nulos?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Foi dado um 4-vetor unitário do tipo tempo \vec{U}. Vou assumir a convenção de sinal “mostly plus” \eta_{\alpha\beta}=\mathrm{diag}(-1,+1,+1,+1),e que \vec{U} é normalizado como \vec{U}\cdot\vec{U}=\eta_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta}=-1.
  • Foi dado o tensor \overleftrightarrow{P}_{\vec{U}}=\overleftrightarrow{\eta}+\vec{U}\otimes\vec{U}.Em componentes mistas (úteis para agir em um vetor) escrevemos P^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta},onde U_{\beta}=\eta_{\beta\gamma}U^{\gamma} e \delta^{\alpha}{}_{\beta} é o delta de Kronecker.
  • O enunciado pede para mostrar, para um vetor arbitrário \vec{V}, que o vetor projetado V_{\perp}^{\alpha}=P^{\alpha}{}_{\beta}V^{\beta}satisfaz as propriedades:
    (a) é ortogonal a \vec{U};
    (b) é inalterado por projeções adicionais (idempotência do operador);
    (c) P_{\alpha\beta} (com índices baixos) é o tensor métrico induzido para vetores ortogonais a \vec{U};
    (d) para um 4-vetor não-nulo arbitrário \vec{q} mostrar que a forma geral do proyector é \overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{q}}.
  • Finalmente o enunciado pergunta se é necessário/possível definir um tensor de projeção para vetores nulos.

Passo 2

Breve explicação das notações e ferramentas que serão usadas (para você entender a técnica).
  • Produto escalar (produto interno) entre dois 4-vetores \vec{A} e \vec{B} é \vec{A}\cdot\vec{B}=\eta_{\alpha\beta}A^{\alpha}B^{\beta}=A_{\beta}B^{\beta}=A^{\alpha}B_{\alpha}.
  • Produto externo (tensor produto) \vec{X}\otimes\vec{Y} tem componentes (X\otimes Y)^{\alpha}{}_{\beta}=X^{\alpha}Y_{\beta}.Assim \vec{U}\otimes\vec{U} tem componentes U^{\alpha}U_{\beta}.
  • O operador de projeção em forma mista que age em \vec{V} é P^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta}.Então projetar significa multiplicar este operador pelo vetor \vec{V} para obter V_\perp^\alpha.
  • Lembre-se: como \vec{U} é unitário do tipo tempo, \vec{U}\cdot\vec{U}=-1. Esse fato será essencial nas contas.

Passo 3

Provar (a): o vetor projetado é ortogonal a \vec{U}.
Queremos mostrar \vec{U}\cdot\vec{V}_{\perp}=0. Escrevendo em componentes:
\vec{U}\cdot\vec{V}_{\perp}=U_{\alpha}V_{\perp}^{\alpha}=U_{\alpha}P^{\alpha}{}_{\beta}V^{\beta}.
Substituindo P^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta}:
U_{\alpha}P^{\alpha}{}_{\beta}V^{\beta}=U_{\alpha}\big(\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta}\big)V^{\beta}.
Expandindo termo a termo:
U_{\alpha}\delta^{\alpha}{}_{\beta}V^{\beta}=U_{\beta}V^{\beta}=\vec{U}\cdot\vec{V},
e
U_{\alpha}U^{\alpha}U_{\beta}V^{\beta}=(U_{\alpha}U^{\alpha})(U_{\beta}V^{\beta})=(\vec{U}\cdot\vec{U})(\vec{U}\cdot\vec{V}).
Somando:
U_{\alpha}P^{\alpha}{}_{\beta}V^{\beta}=\vec{U}\cdot\vec{V}+(\vec{U}\cdot\vec{U})(\vec{U}\cdot\vec{V}).
Usando \vec{U}\cdot\vec{U}=-1 obtemos
\vec{U}\cdot\vec{V}_{\perp}=\vec{U}\cdot\vec{V}-\vec{U}\cdot\vec{V}=0.
Portanto \vec{V}_{\perp} é ortogonal a \vec{U}. Intuição: o operador subtrai a componente de \vec{V} paralela a \vec{U} (lembre que para tempo o sinal aparece com -1).

Passo 4

Provar (b): projeções adicionais não alteram \vec{V}_{\perp} (idempotência).
A propriedade desejada é
V_{\perp\perp}^{\alpha}\equiv P^{\alpha}{}_{\beta}V_{\perp}^{\beta}=V_{\perp}^{\alpha},
o que equivale à identidade de operador
P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma}=P^{\alpha}{}_{\gamma}.
Calcule P^2. Com P^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta},
P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma} =(\delta^{\alpha}{}_{\beta}+U^{\alpha}U_{\beta})(\delta^{\beta}{}_{\gamma}+U^{\beta}U_{\gamma}).
Expandindo (fazendo produto distributivo):
= \delta^{\alpha}{}_{\gamma} + U^{\alpha}U_{\gamma} + U^{\alpha}(U_{\beta}U^{\beta})U_{\gamma}.
Observe que U_{\beta}U^{\beta}=\vec{U}\cdot\vec{U}=-1. Assim o terceiro termo é
U^{\alpha}(U_{\beta}U^{\beta})U_{\gamma}=U^{\alpha}(-1)U_{\gamma}=-U^{\alpha}U_{\gamma}.
Logo somando os termos o +U^{\alpha}U_{\gamma} e o -U^{\alpha}U_{\gamma} se cancelam parcialmente, restando
P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma}=\delta^{\alpha}{}_{\gamma}+U^{\alpha}U_{\gamma}=P^{\alpha}{}_{\gamma}.
Portanto P^2=P e, em particular, aplicando em V,
P^{\alpha}{}_{\beta}V_{\perp}^{\beta}=P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma}V^{\gamma}=P^{\alpha}{}_{\gamma}V^{\gamma}=V_{\perp}^{\alpha},
ou seja, uma vez projetado, o vetor não muda com projeções adicionais.

Passo 5

Provar (c): P_{\alpha\beta} é o tensor métrico para vetores ortogonais a \vec{U}.
Defina os componentes com índices baixos:
P_{\alpha\beta}=\eta_{\alpha\gamma}P^{\gamma}{}_{\beta}=\eta_{\alpha\beta}+U_{\alpha}U_{\beta}.
Queremos mostrar que para quaisquer vetores projetados \vec{V}_{\perp} e \vec{W}_{\perp},
P_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=\vec{V}_{\perp}\cdot\vec{W}_{\perp}.
Calcule o lado esquerdo:
P_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=(\eta_{\alpha\beta}+U_{\alpha}U_{\beta})V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}.
Separe os termos:
=\eta_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}+ (U_{\alpha}V_{\perp}^{\alpha})(U_{\beta}W_{\perp}^{\beta}).
Mas das propriedades já demonstradas, U_{\alpha}V_{\perp}^{\alpha}=U\cdot V_{\perp}=0 e idem para W_{\perp}. Portanto o segundo termo some e resta
P_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=\eta_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=\vec{V}_{\perp}\cdot\vec{W}_{\perp}.
Isto mostra que P_{\alpha\beta} age como o tensor métrico (a métrica induzida) no espaço de vetores ortogonais a \vec{U}.

Passo 6

Provar (d): projeção para um 4-vetor não-nulo arbitrário \vec{q}.
Queremos um projeção ortogonal a \vec{q}. Se \vec{q} for não-nulo, \vec{q}\cdot\vec{q}\neq0, podemos definir o projetor
P^{\alpha}{}_{\beta}=\delta^{\alpha}{}_{\beta}-\frac{q^{\alpha}q_{\beta}}{q\cdot q},
ou, em forma de tensores,
\overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{q}}.
Motivação rápida (didática): normalize \vec{q} definindo \vec{u}=\vec{q}/\sqrt{|\vec{q}\cdot\vec{q}|}; para \vec{u} unitário a projeção ortogonal é \eta+\vec{u}\otimes\vec{u} se \vec{u} for timelike (pois \vec{u}\cdot\vec{u}=-1) ou \eta-\vec{u}\otimes\vec{u} se spacelike ( \vec{u}\cdot\vec{u}=+1). Substituindo \vec{u}=\vec{q}/\sqrt{|\vec{q}\cdot\vec{q}|} unifica-se na expressão acima, que é equivalente ao enunciado:
\overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{q}}.
Verificação direta das propriedades: primeiro, esse operador anula \vec{q}:
P^{\alpha}{}_{\beta}q^{\beta}=q^{\alpha}-\frac{q^{\alpha}(q_{\beta}q^{\beta})}{q\cdot q}=0.
Segundo, é idempotente:
P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma} =\delta^{\alpha}{}_{\gamma}-2\frac{q^{\alpha}q_{\gamma}}{q\cdot q}+\frac{q^{\alpha}q_{\beta}q^{\beta}q_{\gamma}}{(q\cdot q)^2} =\delta^{\alpha}{}_{\gamma}-\frac{q^{\alpha}q_{\gamma}}{q\cdot q}=P^{\alpha}{}_{\gamma},
porque q_{\beta}q^{\beta}=q\cdot q. Assim é realmente um projetor ortogonal à \vec{q}.

Passo 7

É necessário um tensor de projeção para vetores nulos? (comentário e resposta)
  • Se \vec{q} for nulo, \vec{q}\cdot\vec{q}=0, a fórmula \overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{q}}fica singular (divisão por zero), então não se pode defini-la desta forma.
  • Geometricamente, a subespaço ortogonal a um vetor nulo \vec{q} em espaço de Lorentz é degenerado: \vec{q} é ortogonal a si mesmo, então a ortogonal complementar contém \vec{q}. Isso impede definir um projetor único que “separe” a componente paralela e a perpendicular do modo usual (não há decomposição direta em soma ortogonal de uma componente paralela e outra perpendicular com complemento direto).
  • Portanto, para vetores nulos não existe um projetor ortogonal canônico do tipo acima sem informação extra. Se for necessário definir um “projetor de tela” (por exemplo, para isolar as duas direções transversais observadas por um observador), precisa-se de estrutura adicional, tipicamente outro vetor (por exemplo outro nulo \vec{n} com \vec{q}\cdot\vec{n}\neq0) e então define-se um projetor de pantalla/ tela (screen projector) usando ambos, por exemplo algo como P_{\text{screen}}=\eta+\frac{\vec{q}\otimes\vec{n}+\vec{n}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{n}},que anula \vec{q} e \vec{n} e projeta nas direções transversas. Mas isto só existe porque se forneceu \vec{n} extra.
  • Em resumo: não dá para usar a mesma fórmula para vetores nulos; é preciso estrutura adicional para obter um projetor bem definido.

Resposta

(a) \vec{U}\cdot\vec{V}_{\perp}=0.
(b) P^{\alpha}{}_{\beta}P^{\beta}{}_{\gamma}=P^{\alpha}{}_{\gamma}, logo P^{\alpha}{}_{\beta}V_{\perp}^{\beta}=V_{\perp}^{\alpha}.
(c) P_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=\eta_{\alpha\beta}V_{\perp}^{\alpha}W_{\perp}^{\beta}=\vec{V}_{\perp}\cdot\vec{W}_{\perp}.
(d) Para \vec{q} não-nulo \displaystyle \overleftrightarrow{P}_{\vec{q}}=\overleftrightarrow{\eta}-\frac{\vec{q}\otimes\vec{q}}{\vec{q}\cdot\vec{q}}.
Para vetores nulos não se pode usar essa fórmula (divisão por zero); um projetor ortogonal canônico não existe sem especificar estrutura adicional.

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