Questão 2. Considere uma linha de carga reta, de comprimento total
, com densidade linear de carga uniforme
, disposta ao longo do eixo
e centrada na origem do sistema de coordenadas. Assim, a linha se estende desde
até
.
a) Determine o campo elétrico no ponto
utilizando a Lei de Coulomb. (1.0 Ponto)
b) Determine o potencial elétrico no mesmo ponto. (2.0 Pontos)
c) A partir do potencial obtido no item (b), determine o campo elétrico utilizando a relação entre campo e potencial. Compare com o resultado do item (a) (1.0 Ponto)
d) Considere o limite
de modo que a linha de carga finita se comporte como uma linha infinita com densidade linear
. Utilizando Gauss. determine o campo elétrico nesse caso. (1.0 Ponto)
a) Determine o campo elétrico no ponto
b) Determine o potencial elétrico no mesmo ponto. (2.0 Pontos)
c) A partir do potencial obtido no item (b), determine o campo elétrico utilizando a relação entre campo e potencial. Compare com o resultado do item (a) (1.0 Ponto)
d) Considere o limite
Passo 1
O enunciado dá uma linha de carga reta de comprimento total
colocada sobre o eixo
, centrada na origem; logo a linha vai de
até
. A densidade linear de carga é
. O ponto onde queremos o campo e o potencial é
(assumir
; se necessário a indicação de sentido ficará em função do sinal de
).\n\nAs perguntas são:
- (a) determinar o campo elétrico em
usando a Lei de Coulomb;\n- (b) determinar o potencial elétrico em ;\n- (c) obter o campo a partir do potencial via e comparar com (a);\n- (d) no limite (linha infinita), usar a Lei de Gauss para encontrar o campo.\n\nInformações relevantes dadas:\n- a linha vai de até ;\n- densidade linear ;\n- ponto de interesse .\n\nConstantes e notação que usarei: . Não começo a resolver ainda — só organizei o que foi pedido e os dados.
Passo 2
Montagem do problema com a Lei de Coulomb e definição dos elementos.\n\nConsidere um elemento de carga infinitesimal numa posição
ao longo da linha: a posição do elemento é
e o elemento de carga é\n
\nA posição do ponto de observação é
. O vetor que vai do elemento de carga até o ponto é
A distância entre o elemento e o ponto é
A contribuição diferencial de campo elétrico dada pela Lei de Coulomb (num meio o vácuo) é
Aqui
. Vou integrar esse
ao longo de
.
Passo 3
Separação das componentes e uso de simetria.\n\nEscrevendo componentes:
Pelo par
a componente
é ímpar e integra-se a zero no intervalo simétrico
. Portanto o campo resultante tem apenas componente
. Assim
Usando simetria par da integranda, escrevo
Passo 4
Cálculo da integral para
.\n\nCalculo a integral
Uma técnica direta é usar a substituição trigonométrica
. Então
e
. Temos
Integrando,
Agora
pode ser obtido por um triângulo retângulo: se
então
. Portanto
Substituindo em
:
Substituindo
e simplificando
, obtemos a forma comum
O vetor campo é apontado ao longo da direção do eixo
. Em notação vetorial,
Observação sobre o sentido: para
o campo aponta para
(se
); para
o mesmo resultado com
negativo dá o sentido correto (o fator
muda de sinal).
Passo 5
Cálculo do potencial elétrico no ponto
por integração direta.\n\nUsando
e tomando
,
A integral conhecida é
Portanto
Assumindo
(ou escrevendo
para generalidade), substituindo
obtemos
Observação: para a linha finita essa expressão é finita; no limite
o potencial diverge logaritmicamente (isso é esperado para linha infinita).
Passo 6
Obter
a partir do potencial e comparar com o item (a).\n\nComo
depende só de
ao avaliarmos no eixo
, a relação é
Usando a forma
e diferenciando (vou supor
para evitar o valor absoluto durante a diferenciação),
Então
Fazendo a manipulação algébrica (multiplicando numerador e denominador convenientemente ou usando a identidade
) mostra-se que a expressão acima simplifica exatamente para
que é a mesma expressão obtida no item (a). Conclusão: o campo obtido por
coincide com o obtido diretamente pela Lei de Coulomb.
Passo 7
Limite
e uso da Lei de Gauss para linha infinita.\n\nTomando o resultado do item (a) e fazendo
,
Para
tem-se
, logo
Como
aqui é a distância radial
do ponto até a linha (no caso do ponto
,
), podemos escrever o resultado padrão para a linha infinita:
Agora derivo o mesmo resultado rapidamente por Gauss: escolha uma superfície cilíndrica coaxial com a linha, de raio
e comprimento
. O fluxo do campo através do cilindro é
pois o campo é radial e constante sobre a superfície lateral; as tampas não contribuem (o campo é paralelo às tampas). A carga total dentro da superfície é
. Pela Lei de Gauss,
Cancelando
,
que coincide com o limite
obtido antes.
Resposta
(a)
\n(b)
\n(c)
(igual ao item (a)).\n(d)
(linha infinita; com
para o ponto
).