São dados três vetores em metros:
\begin{aligned} & \vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\mathrm{i}}-4,0 \hat{\mathrm{j}}+2,0 \hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\mathrm{i}}+3,0 \hat{\mathrm{j}}+1,0 \hat{\mathrm{k}} \end{aligned}
Determine :
\vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2} \times \vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá três vetores (em metros):
\begin{aligned} & \vec{d}_{1}=-3,0\,\hat{\mathrm{i}}+3,0\,\hat{\mathrm{j}}+2,0\,\hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{2}=-2,0\,\hat{\mathrm{i}}-4,0\,\hat{\mathrm{j}}+2,0\,\hat{\mathrm{k}} \\\ & \vec{d}_{3}=2,0\,\hat{\mathrm{i}}+3,0\,\hat{\mathrm{j}}+1,0\,\hat{\mathrm{k}} \end{aligned}
O que se pede é o valor escalar
\vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}\times\vec{d}_{3}\bigr).
Para facilitar as contas, vou trabalhar com as componentes numéricas (sem os zeros decimais):
\vec{d}_1 = (-3,\,3,\,2),\qquad \vec{d}_2 = (-2,\,-4,\,2),\qquad \vec{d}_3 = (2,\,3,\,1).

Passo 2

O que significa cada operação (aula rápida, sem pressa):
  • O produto vetorial (cross product) \vec{a}\times\vec{b} resulta num vetor perpendicular aos dois vetores \vec{a} e \vec{b}. Em componentes, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr).
Cada coordenada é uma diferença de produtos — é só seguir com cuidado e sem pânico.
  • O produto escalar (dot product) \vec{u}\cdot\vec{v} entre \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
É um número (escalar).
  • O produto misto (scalar triple product) \vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3) pode ser calculado primeiro encontrando \vec{d}_2\times\vec{d}_3 e depois fazendo o produto escalar com \vec{d}_1. Alternativamente, é igual ao determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes dos vetores:
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3)= \begin{vmatrix} d_{1x} & d_{1y} & d_{1z} \\\ d_{2x} & d_{2y} & d_{2z} \\\ d_{3x} & d_{3y} & d_{3z} \end{vmatrix}.
Vou usar o caminho direto (cross depois dot), que é mecânico e fácil de checar.

Passo 3

Calcular \vec{d}_2\times\vec{d}_3 usando a fórmula componente a componente.
Tomando \vec{d}_2 = (d_{2x},d_{2y},d_{2z}) = (-2,-4,2) e \vec{d}_3 = (d_{3x},d_{3y},d_{3z}) = (2,3,1),
as componentes são:
\begin{aligned} (\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_x &= d_{2y}d_{3z}-d_{2z}d_{3y} = (-4)\cdot 1 - 2\cdot 3 = -4 - 6 = -10,\\[4pt] (\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_y &= d_{2z}d_{3x}-d_{2x}d_{3z} = 2\cdot 2 - (-2)\cdot 1 = 4 - (-2) = 6,\\[4pt] (\vec{d}_2\times\vec{d}_3)_z &= d_{2x}d_{3y}-d_{2y}d_{3x} = (-2)\cdot 3 - (-4)\cdot 2 = -6 - (-8) = 2. \end{aligned}
Portanto
\vec{d}_2\times\vec{d}_3 = (-10,\,6,\,2).]

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3).
Com \vec{d}_1 = (-3,\,3,\,2) e \vec{d}_2\times\vec{d}_3 = (-10,\,6,\,2),
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2\times\vec{d}_3) = (-3)\cdot(-10) + 3\cdot 6 + 2\cdot 2.
Calcule cada termo:
(-3)\cdot(-10)=30,\qquad 3\cdot 6=18,\qquad 2\cdot 2=4.
Somando:
30+18+4=52.

Passo 5

Verificação rápida (método alternativo): o mesmo resultado pode ser obtido calculando o determinante
\begin{vmatrix} -3 & 3 & 2\\\\ -2 & -4 & 2\\\\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix},
que, desenvolvendo pela primeira linha, dá 30+18+4=52. Confere com o cálculo por cross então dot.

Resposta

52\\ \mathrm{m}^3

Exercícios relacionados