Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k(7 x+1){k}}{2{k}}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k(7x+1)^{k}}{2^{k}}.
Informações dadas e o que precisamos obter:
A soma é sobre k de 2 até +\infty.
A variável é x.
O termo geral é \dfrac{k(7x+1)^k}{2^k}.
Precisamos determinar para quais valores de x essa série converge (intervalo de convergência), incluindo verificar separadamente os pontos finais do intervalo de convergência possível.
Passo 2
Vamos escrever a série na forma padrão de uma série de potências centrada em algum ponto, para identificar centro e coeficientes. Observe que
Isto mostra que é uma série de potências centrada em x_0=-\dfrac{1}{7} com coeficientes
a_k = k\left(\frac{7}{2}\right)^k.
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_k (x-x_0)^k usamos a fórmula
R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}}.
Aqui é conveniente aplicar essa fórmula (testes raiz/raiz superior), porque temos a_k na forma k vezes uma potência exponencial, e há um resultado útil: \lim_{k\to\infty} k^{1/k}=1. Vou explicar isso brevemente: escrevendo k^{1/k}=e^{\ln(k)/k} e lembrando que \ln(k)/k\to 0 quando k\to\infty, obtemos k^{1/k}\to e^0=1.
Passo 4
Calculemos \limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k}. Como a_k=k\left(\dfrac{7}{2}\right)^k,
|a_k|^{1/k} = k^{1/k}\left(\frac{7}{2}\right).
Fazendo k\to\infty e usando k^{1/k}\to 1, obtemos
\limsup_{k\to\infty} |a_k|^{1/k} = \frac{7}{2}.
Passo 5
Usando a fórmula do raio,
R=\frac{1}{\frac{7}{2}}=\frac{2}{7}.
Portanto o raio de convergência em torno do centro x_0=-\dfrac{1}{7} é R=\dfrac{2}{7}.
Passo 6
O intervalo (aberto) central onde a série converge absolutamente é
Agora precisamos testar os extremos x=-\dfrac{3}{7} e x=\dfrac{1}{7} separadamente, porque a fórmula do raio só dá o intervalo aberto.
Passo 7
Teste do extremo direito x=\dfrac{1}{7}.
Substituindo x=\dfrac{1}{7} na expressão 7x+1 obtemos
7\left(\frac{1}{7}\right)+1 = 1+1 = 2.
Assim a série torna-se
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{k\cdot 2^{k}}{2^{k}} = \sum_{k=2}^{\infty} k.
Os termos gerais são k, que não tendem a zero quando k\to\infty. Lembre-se: uma condição necessária para que uma série \sum b_k converja é que b_k\to 0. Aqui b_k=k\not\to 0, logo a série diverge no ponto x=\dfrac{1}{7}.
O termo geral é k(-1)^k, cujo módulo é |k(-1)^k|=k, que não tende a zero. Portanto novamente a condição necessária de que o termo geral tenda a zero falha, então a série diverge também em x=-\dfrac{3}{7}.
Passo 9
Conclusão: a série converge absolutamente para todos x tais que
\left|x+\frac{1}{7}\right|<\frac{2}{7},
ou seja, para x\in\left(-\dfrac{3}{7},\dfrac{1}{7}\right), e diverge nos dois extremos. Então o intervalo de convergência é o intervalo aberto encontrado.