Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2 k+1}}{\pi^{k}}
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{\pi^{k}}.
Informações dadas e objetivo: a série é em função de x, com parâmetros numéricos envolvendo \pi. Queremos determinar todos os valores de x para os quais essa série converge.
Passo 2
Observação estratégica (fatoração): extraímos um fator x para reconhecer uma série geométrica. Escrevemos
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{\pi^{k}} = x \sum_{k=0}^{\infty} \left(\frac{x^2}{\pi}\right)^k.
Aqui o termo dentro da soma é da forma r^k com
r=\frac{x^2}{\pi}.
Passo 3
Aula rápida sobre a série geométrica: a série geométrica \sum_{k=0}^{\infty} r^k converge se, e somente se, |r|<1. Quando converge, seu somatório vale \dfrac{1}{1-r}. No nosso caso, a condição de convergência para a soma interna é
\left|\frac{x^2}{\pi}\right|<1.
Vou explicar passo a passo essa desigualdade: \left|\dfrac{x^2}{\pi}\right|=\dfrac{|x^2|}{|\pi|}. Como |x^2|=|x|^2 e |\pi|=\pi (pois \pi>0), a condição fica
\frac{|x|^2}{\pi}<1.
Passo 4
Resolver a desigualdade obtida: multiplicando ambos os lados por \pi>0 obtemos
|x|^2<\pi.
Tirando raiz quadrada (lembrando que |x|\ge 0), isso equivale a
|x|<\sqrt{\pi}.
Portanto a convergência estrita (aberta) acontece para todos os x tais que |x|<\sqrt{\pi}, ou seja para x no intervalo aberto \left(-\sqrt{\pi},\sqrt{\pi}\right). A partir daqui podemos anotar o raio de convergência:
R=\sqrt{\pi}.
Passo 5
Verificação dos extremos — x=\sqrt{\pi}. Substituindo na série original temos
Esse é um somatório de termos constantes \sqrt{\pi}. Uma série infinita de termos não nulos cujo termo geral não tende a zero não pode convergir. Como o termo geral aqui é \sqrt{\pi}\neq 0, a série diverge em x=\sqrt{\pi}.
Passo 6
Verificação dos extremos — x=-\sqrt{\pi}. Substituindo,
Novamente o termo geral é o constante -\sqrt{\pi}\neq 0, logo a série também diverge em x=-\sqrt{\pi}.
Passo 7
Conclusão final: a série converge exatamente quando |x|<\sqrt{\pi}. Além disso, como bônus prático: para |x|<\sqrt{\pi} a soma pode ser escrita (usando a soma da geométrica) como