São dados três vetores em metros:
\vec{d}_{1}=-3,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k}
\vec{d}_{2}=-2,0 \hat{\imath}-4,0 \hat{\jmath}+2,0 \hat{k} \\\ \vec{d}_{3}=2,0 \hat{\imath}+3,0 \hat{\jmath}+1,0 \hat{k}
Determine
(a) \vec{d}_{1} \cdot\left(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar \vec{d}_{1}\cdot\bigl(\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}\bigr).
Informações dadas (peguei todos os componentes do enunciado):
\vec{d}_{1} = -3,0\,\hat{\imath} + 3,0\,\hat{\jmath} + 2,0\,\hat{k},
\vec{d}_{2} = -2,0\,\hat{\imath} - 4,0\,\hat{\jmath} + 2,0\,\hat{k},
\vec{d}_{3} = 2,0\,\hat{\imath} + 3,0\,\hat{\jmath} + 1,0\,\hat{k}.

Passo 2

Explicação e cálculo da soma vetorial \vec{d}_{2}+\vec{d}_{3}.
Regra de soma de vetores em componentes: para vetores em coordenadas cartesianas, a soma é feita componente a componente. Se
\vec{a}=a_x\,\hat{\imath}+a_y\,\hat{\jmath}+a_z\,\hat{k} \quad\text{e}\quad \vec{b}=b_x\,\hat{\imath}+b_y\,\hat{\jmath}+b_z\,\hat{k},
então
\vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x)\,\hat{\imath}+(a_y+b_y)\,\hat{\jmath}+(a_z+b_z)\,\hat{k}.
Aqui a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z são as componentes na direção \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.
Aplicando aos vetores dados:
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = (-2,0+2,0)\,\hat{\imath} + (-4,0+3,0)\,\hat{\jmath} + (2,0+1,0)\,\hat{k}.
Calcule cada soma:
-2,0+2,0 = 0,0,\quad -4,0+3,0 = -1,0,\quad 2,0+1,0 = 3,0.
Portanto
\vec{d}_{2}+\vec{d}_{3} = 0,0\,\hat{\imath} -1,0\,\hat{\jmath} + 3,0\,\hat{k}.

Passo 3

Definição do produto escalar (dot product) e como vamos aplicá-la.
Definição: para dois vetores
\vec{a}=a_x\,\hat{\imath}+a_y\,\hat{\jmath}+a_z\,\hat{k} \quad\text{e}\quad \vec{b}=b_x\,\hat{\imath}+b_y\,\hat{\jmath}+b_z\,\hat{k},
o produto escalar é
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui a_x b_x significa multiplicar as componentes correspondentes e somar os resultados; o produto escalar resulta em um número (escalares). O produto escalar preserva unidades (se as componentes têm unidades de metros, o resultado tem unidades de metro vezes metro = metro ao quadrado).
Também vale a propriedade distributiva:
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2+\vec{d}_3)=\vec{d}_1\cdot\vec{d}_2+\vec{d}_1\cdot\vec{d}_3,
mas aqui já calculamos \vec{d}_2+\vec{d}_3 e usaremos a definição direta de componentes.

Passo 4

Aplicar a fórmula do produto escalar com as componentes.
Escrevendo as componentes relevantes:
\vec{d}_1 = (-3,0,\,3,0,\,2,0), \qquad \vec{d}_2+\vec{d}_3 = (0,0,\,-1,0,\,3,0),
onde a ordem é (x,y,z).
Usando \vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, temos
\vec{d}_1\cdot(\vec{d}_2+\vec{d}_3) = (-3,0)\cdot 0,0 \;+\; 3,0\cdot(-1,0) \;+\; 2,0\cdot 3,0.
Calcule termo a termo, sem pular etapas:
(-3,0)\cdot 0,0 = -3,0\times 0,0 = 0,0,
3,0\cdot(-1,0) = 3,0\times(-1,0) = -3,0,
2,0\cdot 3,0 = 2,0\times 3,0 = 6,0.
Somando os três resultados:
0,0 + (-3,0) + 6,0 = -3,0 + 6,0 = 3,0.

Passo 5

Interpretação de unidades e conclusão final.
Como cada componente estava em metros, o produto escalar tem unidades de metro vezes metro = metro ao quadrado. Portanto o valor final é 3,0\\ \mathrm{m}^2.

Resposta

3,0\\ \mathrm{m}^2

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