1^{\text {a }} Questão (Valor: 2,5 pontos) - Responda às questões abaixo apresentadas:
A diferença entre os níveis sonoros de dois sons é de 2 dB . Qual a razão entre a maior e a menor intensidade sonora?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre a maior e a menor intensidade sonora quando a diferença entre os níveis sonoros é de 2\\ \text{dB}.
Informações fornecidas:
  • Diferença de nível sonoro: \Delta L = 2\\ \text{dB}.

Passo 2

Explicar a relação entre nível sonoro e intensidade sonora. O nível sonoro L (em decibéis) é dado por
L = 10 \log_{10}\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right),
onde:
  • L é o nível sonoro em decibéis,
  • I é a intensidade sonora (em \text{W}/\text{m}^2),
  • I_0 é a intensidade de referência (usualmente I_0=10^{-12}\\ \text{W}/\text{m}^2),
    e \log_{10} é o logaritmo de base 10.
Se tivermos dois sons com intensidades I_1 e I_2 e níveis L_1 e L_2, a diferença de nível é
\Delta L = L_1 - L_2 = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_1}{I_0}\right) - 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_2}{I_0}\right).
Usando a propriedade dos logaritmos \log a - \log b = \log(a/b), obtemos
\Delta L = 10\log_{10}\!\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right).
Isto é a fórmula chave: a diferença de níveis em decibéis mede, na escala logarítmica, a razão das intensidades.

Passo 3

Isolar a razão das intensidades a partir da fórmula anterior:
\log_{10}\!\left(\dfrac{I_1}{I_2}\right) = \dfrac{\Delta L}{10} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{I_1}{I_2} = 10^{\frac{\Delta L}{10}}.
Aqui \dfrac{I_1}{I_2} é a razão entre a maior e a menor intensidade sonora que o problema pede.

Passo 4

Substituir \Delta L = 2\\ \text{dB}:
\dfrac{I_1}{I_2} = 10^{\frac{2}{10}} = 10^{0,2}.
Para obter um valor numérico, usa-se 10^{0,2} = e^{0,2\ln 10}. Como \ln 10 \approx 2,302585,
0,2\ln 10 \approx 0,460517,
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10^{0,2} \approx e^{0,460517} \approx 1,5849\ldots

Passo 5

Interpretação final: a razão entre a maior e a menor intensidade sonora é aproximadamente 1,585. Em palavras, um som que é 2\\ \text{dB} mais intenso que outro tem cerca de 1{,}585 vezes a intensidade do outro.

Resposta

\dfrac{I_{\text{maior}}}{I_{\text{menor}}}\approx1,585

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