São dados os vectores A=(2,-1,1), B=(1,2,-1) e C=(1,1,-2) de V_{3}. Encontrar cada vector D da forma x B+y C, o qual é ortogonal a A e tem comprimento 1 .

Passo 1

O enunciado dá os vetores
A = (2,-1,1),\quad B = (1,2,-1),\quad C = (1,1,-2)
em \mathbb{V}_3 e pede todos os vetores D da forma
D = x\,B + y\,C
que satisfazem
  1. A\cdot D = 0 (ortogonalidade)
  2. \|D\| = 1 (norma unitária)
    Para resolver, vamos usar produto escalar para ortogonalidade e norma em termos de coordenadas para a normalização.

Passo 2

Escrevendo D em coordenadas:
D = x\,(1,2,-1) + y\,(1,1,-2) = (\,x+y,\;2x+y,\;-x-2y\,).
A ortogonalidade A\cdot D=0
(2,-1,1)\cdot(x+y,\,2x+y,\,-x-2y) =2(x+y)-1(2x+y)+1(-x-2y)=0.
Desenvolvendo:
2x+2y -2x -y -x -2y = -x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad x + y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -x.

Passo 3

Substituindo y=-x em D, obtemos
D = x\,B + (-x)\,C = x\,(B - C).
Como
B - C = (1,2,-1) - (1,1,-2) = (0,1,1),
temos
D = x\,(0,1,1).

Passo 4

Para \|D\|=1, note que
\|D\| = |x|\;\|(0,1,1)\| = |x|\;\sqrt{0^2+1^2+1^2} = |x|\sqrt{2}.
Logo
|x|\sqrt{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad |x| = \frac1{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac1{\sqrt2}.
Isso gera dois vetores unitários:

Resposta

D = \pm\frac{1}{\sqrt2}\,(0,1,1).

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