O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vectorial relativa a três vectores A, B e C. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vectores de V_{n}. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vectoriais.
“A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais”.
Passo 1
Resumo do enunciado: seja o quadrilátero OABC cujos vértices estão no espaço vetorial real V_{n}, com O na origem e os vetores posição de A,B,C dados respectivamente por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}. O teorema diz que “a soma dos quadrados dos quatro lados de OABC menos a soma dos quadrados das duas diagonais é igual a quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais”.
Para provar isto vetorialmente, vamos encontrar e demonstrar a identidade em V_{n} que liga:
\|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|^{2}+\|\mathbf{B}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{C}\|^{2} (soma dos quadrados dos lados)
\|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2} (soma dos quadrados das diagonais)
e o quadrado do segmento entre os pontos médios de O\!B e A\!C.
idêntico ao LHS. Logo a identidade está provada em V_{n}.
Passo 5
Interpretação geométrica: o ponto médio da diagonal AC é \displaystyle M=\tfrac{\mathbf{A}+\mathbf{C}}{2}
e o ponto médio da diagonal OB é \displaystyle N=\tfrac{\mathbf{B}}{2}.
Então
válida em qualquer V_{n}. A expansão via produto interno mostra que os dois membros são iguais, o que fornece uma prova vetorial do teorema do quadrilátero.