O teorema de geometria enunciado a seguir sugere uma identidade vectorial relativa a três vectores A, B e C. Dizer qual é a identidade e provar que se verifica para vectores de V_{n}. Tal identidade proporciona uma demonstração do teorema por métodos vectoriais.
“A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero qualquer excede a soma dos quadrados das diagonais em quatro vezes o quadrado do comprimento do segmento de reta que une os pontos médios das diagonais”.

Passo 1

Resumo do enunciado: seja o quadrilátero OABC cujos vértices estão no espaço vetorial real V_{n}, com O na origem e os vetores posição de A,B,C dados respectivamente por \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}. O teorema diz que
“a soma dos quadrados dos quatro lados de OABC menos a soma dos quadrados das duas diagonais é igual a quatro vezes o quadrado do segmento que une os pontos médios das diagonais”.
Para provar isto vetorialmente, vamos encontrar e demonstrar a identidade em V_{n} que liga:
  • \|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|^{2}+\|\mathbf{B}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{C}\|^{2} (soma dos quadrados dos lados)
  • \|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2} (soma dos quadrados das diagonais)
  • e o quadrado do segmento entre os pontos médios de O\!B e A\!C.

Passo 2

Proponho a identidade vetorial seguinte:
\|\mathbf{A}\|^{2} +\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|^{2} +\|\mathbf{B}-\mathbf{C}\|^{2} +\|\mathbf{C}\|^{2} \;=\; \|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|^{2} +\|\mathbf{B}\|^{2} +\|\mathbf{A}+\mathbf{C}-\mathbf{B}\|^{2}.
Vamos verificar que ambos os lados dessa igualdade coincidem expandindo cada norma em termos do produto interno.

Passo 3

Cálculo do lado esquerdo (LHS):
\begin{aligned} \|\mathbf{A}\|^{2} +\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|^{2} &=\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{A} +(\mathbf{A}-\mathbf{B})\!\cdot\!(\mathbf{A}-\mathbf{B})\\\ &= \|\mathbf{A}\|^{2} + \|\mathbf{A}\|^{2} + \|\mathbf{B}\|^{2} -2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B} \;=\;2\|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2}-2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B}. \end{aligned}
Analogamente,
\|\mathbf{B}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{C}\|^{2} =2\|\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2}-2\,\mathbf{B}\!\cdot\!\mathbf{C}.
Somando essas duas parcelas chega-se a
\mathrm{LHS} =2\|\mathbf{A}\|^{2}+2\|\mathbf{B}\|^{2}+2\|\mathbf{C}\|^{2} -2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B}-2\,\mathbf{B}\!\cdot\!\mathbf{C}.

Passo 4

Cálculo do lado direito (RHS):
\|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2} =(\|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{C}\|^{2}-2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{C}) +\|\mathbf{B}\|^{2}.
E
\begin{aligned} \|\mathbf{A}+\mathbf{C}-\mathbf{B}\|^{2} &=\|\mathbf{A}+\mathbf{C}\|^{2}+\|\mathbf{B}\|^{2} -2\,(\mathbf{A}+\mathbf{C})\!\cdot\!\mathbf{B}\\\ &=\|\mathbf{A}\|^{2}+\|\mathbf{C}\|^{2}+2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{C} +\|\mathbf{B}\|^{2} -2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B} -2\,\mathbf{C}\!\cdot\!\mathbf{B}. \end{aligned}
Somando tudo em RHS obtemos
\mathrm{RHS} =2\|\mathbf{A}\|^{2}+2\|\mathbf{B}\|^{2}+2\|\mathbf{C}\|^{2} -2\,\mathbf{A}\!\cdot\!\mathbf{B}-2\,\mathbf{B}\!\cdot\!\mathbf{C},
idêntico ao LHS. Logo a identidade está provada em V_{n}.

Passo 5

Interpretação geométrica: o ponto médio da diagonal AC é \displaystyle M=\tfrac{\mathbf{A}+\mathbf{C}}{2}
e o ponto médio da diagonal OB é \displaystyle N=\tfrac{\mathbf{B}}{2}.
Então
\|\mathbf{A}+\mathbf{C}-\mathbf{B}\|^{2} =4\,\bigl\|M-N\bigr\|^{2}.
Substituindo na identidade do passo 2 obtém-se exatamente
\|\overrightarrow{OA}\|^{2} +\|\overrightarrow{AB}\|^{2} +\|\overrightarrow{BC}\|^{2} +\|\overrightarrow{CO}\|^{2} = \|\overrightarrow{AC}\|^{2} +\|\overrightarrow{OB}\|^{2} +4\,\|MN\|^{2},
que é o enunciado desejado.

Resposta

A identidade vetorial é
\|\mathbf{A}\|^{2} +\|\mathbf{A}-\mathbf{B}\|^{2} +\|\mathbf{B}-\mathbf{C}\|^{2} +\|\mathbf{C}\|^{2} = \|\mathbf{A}-\mathbf{C}\|^{2} +\|\mathbf{B}\|^{2} +4\,\Bigl\|\tfrac{\mathbf{A}+\mathbf{C}}{2}-\tfrac{\mathbf{B}}{2}\Bigr\|^{2},
válida em qualquer V_{n}. A expansão via produto interno mostra que os dois membros são iguais, o que fornece uma prova vetorial do teorema do quadrilátero.

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