Sejam A=(1,2) e B(3,4) dois vectores de V_{2}. Determinar vectores P e Q em V_{2} tais que A=P+Q, P é paralelo a B e Q ortogonal a B.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor A=(1,2) como soma de um vetor P paralelo a B=(3,4) e de um vetor Q ortogonal a B. O conteúdo principal é projeção de um vetor sobre outro num espaço com produto escalar em \mathbb{R}^2. Vamos usar a definição de projeção ortogonal.

Passo 2

A projeção ortogonal de A sobre B é dada por
P \;=\;\mathrm{proj}_{B}(A)\;=\;\frac{A\cdot B}{B\cdot B}\,B\,,
onde o produto escalar em \mathbb{R}^2 é X\cdot Y = X_1Y_1 + X_2Y_2.

Passo 3

Calculamos os produtos escalares
A\cdot B \;=\;1\cdot 3 + 2\cdot 4 \;=\;11
B\cdot B \;=\;3^2 + 4^2 \;=\;9 + 16 \;=\;25.
Logo o fator escalar é \tfrac{11}{25}.

Passo 4

Substituindo em P, temos
P \;=\;\frac{11}{25}\,(3,4)\;=\;\bigl(3\cdot\tfrac{11}{25},\,4\cdot\tfrac{11}{25}\bigr)\;=\;\Bigl(\tfrac{33}{25},\,\tfrac{44}{25}\Bigr).

Passo 5

O vetor ortogonal Q é o que falta para chegar em A, ou seja
Q \;=\;A - P \;=\;(1,2) - \Bigl(\tfrac{33}{25},\,\tfrac{44}{25}\Bigr) \;=\;\Bigl(1 - \tfrac{33}{25},\,2 - \tfrac{44}{25}\Bigr) \;=\;\Bigl(-\tfrac{8}{25},\,\tfrac{6}{25}\Bigr).

Passo 6

Para conferir que Q é ortogonal a B, calculamos
Q\cdot B = \bigl(-\tfrac{8}{25}\bigr)\cdot 3 + \bigl(\tfrac{6}{25}\bigr)\cdot 4 = -\tfrac{24}{25} + \tfrac{24}{25} = 0.
Como Q\cdot B=0, Q é de fato ortogonal a B.

Resposta

P=\bigl(\tfrac{33}{25},\tfrac{44}{25}\bigr) e Q=\bigl(-\tfrac{8}{25},\tfrac{6}{25}\bigr).

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