São dados a você cinco diapasões, todos com frequâncias diferentes. Experimentando cada par de diapasões: (a) qual o número máximo de diferentes freqüências de batimentos quo poderíamos obter? (b) Qual o número mínimo?

Passo 1

O enunciado dá cinco diapasões com frequências todas diferentes. Experimentando cada par de diapasões obtemos batimentos (uma frequência de batimento por par). O que é pedido:
  • (a) o número máximo possível de diferentes frequências de batimento que podemos obter;
  • (b) o número mínimo possível de diferentes frequências de batimento que podemos obter.
Informações relevantes fornecidas:
  • Existem exatamente cinco diapasões, todos com frequências distintas.
  • Cada par de diapasões gera uma frequência de batimento (um número positivo, igual à diferença absoluta entre as duas frequências).
  • Não há mais informações numéricas sobre as frequências (podemos escolher exemplos para construir casos).

Passo 2

Conceito básico e contagem de pares (aulas rápidas para a prova).
  • Quando se tocam dois diapasões com frequências f_i e f_j, a frequência do batimento é dada por
f_{\text{bat}} = |f_i - f_j|.
Aqui f_i e f_j são as frequências dos dois diapasões; o valor do batimento é sempre não-negativo e, se as frequências são distintas, o batimento é estritamente positivo.
  • Quantos pares distintos (não ordenados) de diapasões existem entre cinco diapasões? O número de pares é o número de combinações de 5 itens tomados 2 a 2:
\binom{5}{2} = \frac{5\cdot4}{2} = 10.
Portanto há 10 pares possíveis e, portanto, no máximo pode haver 10 diferentes batimentos (um por par). Isso estabelece um teto óbvio: o máximo possível é no máximo 10. Agora vamos ver se esse teto é atingível e qual é o piso possível.

Passo 3

Raciocínio para o número máximo de batimentos distintos.
  • Para ter o máximo de batimentos distintos queremos que as 10 diferenças absolutas |f_i-f_j| (para os 10 pares) sejam todas diferentes.
  • Isso é possível: basta escolher as frequências de forma que todas as diferenças sejam diferentes. Um exemplo simples e explícito que funciona é escolher frequências que crescem rapidamente, por exemplo:
\{1,2,4,8,16\}\\ \text{(unidades arbitrárias, por ex. Hz).}á
  • Calculemos todas as diferenças entre pares com f_1=1,f_2=2,f_3=4,f_4=8,f_5=16:
    • 2-1=1
    • 4-1=3
    • 8-1=7
    • 16-1=15
    • 4-2=2
    • 8-2=6
    • 16-2=14
    • 8-4=4
    • 16-4=12
    • 16-8=8
  • Lista dos 10 valores obtidos:
\{1,3,7,15,2,6,14,4,12,8\}.
Todos são distintos. Portanto é possível atingir o teto de 10 batimentos diferentes.
  • Conclusão parcial: o número máximo de diferentes frequências de batimento que podemos obter é 10.

Passo 4

Raciocínio para o número mínimo de batimentos distintos — limite inferior.
  • Ordene as cinco frequências em ordem crescente: f_1<f_2<f_3<f_4<f_5.
  • Observe as quatro diferenças em relação à menor frequência f_1:
f_2-f_1,\quad f_3-f_1,\quad f_4-f_1,\quad f_5-f_1.
Cada uma dessas expressões é positiva e estritamente crescente com o índice (por exemplo f_3-f_1>f_2-f_1), então esses quatro números são quatro diferenças distintas. Logo, independentemente da escolha das frequências, já temos pelo menos quatro diferenças distintas.
  • Consequência: o número de diferentes frequências de batimento não pode ser menor que 4. Assim 4 é um limite inferior.

Passo 5

Mostrando que esse mínimo é atingível com um exemplo concreto.
  • Um arranjo que normalmente reduz ao máximo a variedade de diferenças é escolher as frequências igualmente espaçadas (progressão aritmética). Tome, por exemplo,
\{100,110,120,130,140\}\\ \text{Hz},
onde a razão é d=10\\ \text{Hz}.
  • As diferenças entre quaisquer dois termos nessa progressão aritmética são múltiplos inteiros de d obtidos somando consecutivamente d. As diferenças possíveis (valores de f_j-f_i com j>i) são exatamente
d,\\\ 2d,\\\ 3d,\\\ 4d.
Não surgirão outros valores porque qualquer diferença entre dois termos distantes é soma de d várias vezes. Assim obtemos exatamente 4 valores diferentes de batimento.
  • Portanto o valor mínimo 4 é atingível.

Passo 6

Resumindo a conclusão (motivação para a prova).
  • Máximo: como o número de pares é \binom{5}{2}=10 e existe uma construção (por exemplo as potências de 2) que produz 10 diferenças distintas, o máximo possível é 10.
  • Mínimo: por considerar as diferenças f_k-f_1 para k=2,3,4,5 temos pelo menos 4 diferenças distintas para qualquer escolha; e a progressão aritmética mostra que 4 é atingível. Logo o mínimo possível é 4.

Resposta

(a) 10
(b) 4

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