São dados a você cinco diapasões, todos com frequâncias diferentes. Experimentando cada par de diapasões: (a) qual o número máximo de diferentes freqüências de batimentos quo poderíamos obter? (b) Qual o número mínimo?
Passo 1
O enunciado dá cinco diapasões com frequências todas diferentes. Experimentando cada par de diapasões obtemos batimentos (uma frequência de batimento por par). O que é pedido:
- (a) o número máximo possível de diferentes frequências de batimento que podemos obter;
- (b) o número mínimo possível de diferentes frequências de batimento que podemos obter.
Informações relevantes fornecidas:
- Existem exatamente cinco diapasões, todos com frequências distintas.
- Cada par de diapasões gera uma frequência de batimento (um número positivo, igual à diferença absoluta entre as duas frequências).
- Não há mais informações numéricas sobre as frequências (podemos escolher exemplos para construir casos).
Passo 2
Conceito básico e contagem de pares (aulas rápidas para a prova).
- Quando se tocam dois diapasões com frequências
e , a frequência do batimento é dada por
Aqui
e
são as frequências dos dois diapasões; o valor do batimento é sempre não-negativo e, se as frequências são distintas, o batimento é estritamente positivo.
- Quantos pares distintos (não ordenados) de diapasões existem entre cinco diapasões? O número de pares é o número de combinações de 5 itens tomados 2 a 2:
Portanto há 10 pares possíveis e, portanto, no máximo pode haver 10 diferentes batimentos (um por par). Isso estabelece um teto óbvio: o máximo possível é no máximo
. Agora vamos ver se esse teto é atingível e qual é o piso possível.
Passo 3
Raciocínio para o número máximo de batimentos distintos.
- Para ter o máximo de batimentos distintos queremos que as 10 diferenças absolutas
(para os 10 pares) sejam todas diferentes. - Isso é possível: basta escolher as frequências de forma que todas as diferenças sejam diferentes. Um exemplo simples e explícito que funciona é escolher frequências que crescem rapidamente, por exemplo:
- Calculemos todas as diferenças entre pares com
: -
- Lista dos 10 valores obtidos:
Todos são distintos. Portanto é possível atingir o teto de
batimentos diferentes.
- Conclusão parcial: o número máximo de diferentes frequências de batimento que podemos obter é
.
Passo 4
Raciocínio para o número mínimo de batimentos distintos — limite inferior.
- Ordene as cinco frequências em ordem crescente:
. - Observe as quatro diferenças em relação à menor frequência
:
Cada uma dessas expressões é positiva e estritamente crescente com o índice (por exemplo
), então esses quatro números são quatro diferenças distintas. Logo, independentemente da escolha das frequências, já temos pelo menos quatro diferenças distintas.
- Consequência: o número de diferentes frequências de batimento não pode ser menor que
. Assim é um limite inferior.
Passo 5
Mostrando que esse mínimo é atingível com um exemplo concreto.
- Um arranjo que normalmente reduz ao máximo a variedade de diferenças é escolher as frequências igualmente espaçadas (progressão aritmética). Tome, por exemplo,
onde a razão é
.
- As diferenças entre quaisquer dois termos nessa progressão aritmética são múltiplos inteiros de
obtidos somando consecutivamente . As diferenças possíveis (valores de com ) são exatamente
Não surgirão outros valores porque qualquer diferença entre dois termos distantes é soma de
várias vezes. Assim obtemos exatamente
valores diferentes de batimento.
- Portanto o valor mínimo
é atingível.
Passo 6
Resumindo a conclusão (motivação para a prova).
- Máximo: como o número de pares é
e existe uma construção (por exemplo as potências de 2) que produz 10 diferenças distintas, o máximo possível é . - Mínimo: por considerar as diferenças
para temos pelo menos diferenças distintas para qualquer escolha; e a progressão aritmética mostra que é atingível. Logo o mínimo possível é .
Resposta
(a)
(b)
(b)