90E. Se uma corda do violino emite determinada nota, qual deve ser o aumento da tensão da corda para emitir uma nota com o dobro da frequência original (isto é, uma nota uma oitava mais alta)?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte:
- Dado: uma corda de violino emite uma nota com certa frequência inicial
. - Pedido: qual deve ser o aumento da tensão da corda para que ela emita uma nota com o dobro da frequência original, isto é, uma nota com frequência
.
Passo 2
Vamos listar as quantidades relevantes (cada símbolo vai aparecer nas fórmulas):
-
= tensão da corda (força ao longo da corda, em newtons). -
= massa linear da corda (massa por unidade de comprimento, em kg/m). -
= comprimento da corda entre os dois pontos fixos (em metros). -
= frequência fundamental da corda (em hertz).
Esses símbolos serão usados nas fórmulas a seguir. Não é preciso saber valores numéricos específicos paraou para responder à pergunta relativa ao aumento da tensão.
Passo 3
Explicando a física básica (passo a passo, sem pular etapas):
- Uma onda transversal numa corda tem velocidade
dada pela relação
Isto vem da equação de ondas para uma corda tensa: a aceleração transversal é proporcional à curvatura multiplicada pela tensão, e a análise leva a essa expressão. Intuitivamente: quanto maior a tensão
, mais rápido se propagam as ondas; quanto maior a massa por comprimento
, mais “pesada” a corda e mais lenta a onda.
- A frequência fundamental (modo mais grave) de uma corda fixa nas duas extremidades é a frequência da meia-onda que cabe na corda; ela é dada por
Aqui a ideia: na fundamental a corda tem um nó em cada extremidade e um ventre no meio, e o comprimento de onda é
, logo
.
- Combinando as duas expressões, obtemos a fórmula que relaciona frequência e tensão:
Isso mostra claramente que, mantendo
e
constantes (o que é razoável ao afinar a corda), a frequência depende da raiz quadrada da tensão.
Passo 4
Usando a relação de proporcionalidade para comparar a frequência inicial e a desejada:
- Seja
a tensão inicial e a frequência inicial. - Seja
a nova tensão que queremos e a nova frequência desejada .
A partir de
e
temos, dividindo as duas expressões,
Passo 5
Agora substituímos
na relação anterior:
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz,
Portanto
Passo 6
Interpretação prática (o que significa esse resultado):
- A nova tensão deve ser quatro vezes a tensão original. Em termos de aumento absoluto,
- Em termos percentuais, o aumento é de
em relação à tensão inicial, porque
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se a tensão inicial for
, a nova tensão terá de ser
ou seja, aumentar
(que é
de
).