90E. Se uma corda do violino emite determinada nota, qual deve ser o aumento da tensão da corda para emitir uma nota com o dobro da frequência original (isto é, uma nota uma oitava mais alta)?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dado: uma corda de violino emite uma nota com certa frequência inicial \,f\,.
  • Pedido: qual deve ser o aumento da tensão da corda para que ela emita uma nota com o dobro da frequência original, isto é, uma nota com frequência \,2f\,.

Passo 2

Vamos listar as quantidades relevantes (cada símbolo vai aparecer nas fórmulas):
  • \,T\, = tensão da corda (força ao longo da corda, em newtons).
  • \,\mu\, = massa linear da corda (massa por unidade de comprimento, em kg/m).
  • \,L\, = comprimento da corda entre os dois pontos fixos (em metros).
  • \,f\, = frequência fundamental da corda (em hertz).
    Esses símbolos serão usados nas fórmulas a seguir. Não é preciso saber valores numéricos específicos para \mu ou L para responder à pergunta relativa ao aumento da tensão.

Passo 3

Explicando a física básica (passo a passo, sem pular etapas):
  1. Uma onda transversal numa corda tem velocidade \,v\, dada pela relação
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Isto vem da equação de ondas para uma corda tensa: a aceleração transversal é proporcional à curvatura multiplicada pela tensão, e a análise leva a essa expressão. Intuitivamente: quanto maior a tensão \,T\,, mais rápido se propagam as ondas; quanto maior a massa por comprimento \,\mu\,, mais “pesada” a corda e mais lenta a onda.
  1. A frequência fundamental (modo mais grave) de uma corda fixa nas duas extremidades é a frequência da meia-onda que cabe na corda; ela é dada por
f=\dfrac{v}{2L}.
Aqui a ideia: na fundamental a corda tem um nó em cada extremidade e um ventre no meio, e o comprimento de onda é \lambda=2L, logo f=v/\lambda=v/(2L).
  1. Combinando as duas expressões, obtemos a fórmula que relaciona frequência e tensão:
f=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Isso mostra claramente que, mantendo \mu e L constantes (o que é razoável ao afinar a corda), a frequência depende da raiz quadrada da tensão.

Passo 4

Usando a relação de proporcionalidade para comparar a frequência inicial e a desejada:
  • Seja \,T\, a tensão inicial e \,f\, a frequência inicial.
  • Seja \,T'\, a nova tensão que queremos e \,f'\, a nova frequência desejada \,f'=2f\,.
A partir de f=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} e f'=\dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T'}{\mu}} temos, dividindo as duas expressões,
\frac{f'}{f}=\sqrt{\frac{T'}{T}}.

Passo 5

Agora substituímos \,f'=2f\, na relação anterior:
2=\sqrt{\frac{T'}{T}}.
Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz,
4=\frac{T'}{T}.
Portanto
T'=4T.

Passo 6

Interpretação prática (o que significa esse resultado):
  • A nova tensão deve ser quatro vezes a tensão original. Em termos de aumento absoluto,
\Delta T = T' - T = 4T - T = 3T.
  • Em termos percentuais, o aumento é de 300\% em relação à tensão inicial, porque
\frac{\Delta T}{T}\times 100\% = \frac{3T}{T}\times 100\% = 300\%.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: se a tensão inicial for \,T=10\\ \text{N}, a nova tensão terá de ser
T'=4\cdot 10\\ \text{N}=40\\ \text{N},
ou seja, aumentar \,30\\ \text{N} (que é 300\% de 10\\ \text{N}).

Resposta

T' = 4T
\Delta T = 3T (aumento de 300\%)

Exercícios relacionados