(a) Mostre que a intensidade I 6 o produto da energia por unidade de volume u pela velocidade de propagação v de uma perturbação ondulatória. (b) Ondas de rádio propagam-se à velocidado de 3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Encontre a densidade de energia em uma onda de rádio a 480 km de uma fonte de 50000 W , supondo que as ondas são esféricas e a propagação é isotrópica.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
  • O enunciado faz duas perguntas:
    1. (a) Mostrar que a intensidade I é o produto da energia por unidade de volume u pela velocidade de propagação v de uma perturbação ondulatória.
    2. (b) Calcular a densidade de energia u numa onda de rádio a 480\\ \text{km} de uma fonte de potência 50000\\ \text{W}, sabendo que as ondas são esféricas e a propagação é isotrópica e que a velocidade de propagação é 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Potência da fonte: P = 50000\\ \mathrm{W}.
    • Distância da fonte: r = 480\\ \text{km} = 4,80\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade de propagação: v = 3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • Pressuposição: ondas esféricas e emissão isotrópica (energia espalha-se uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r).

Passo 2

Entendendo as grandezas físicas envolvidas (aula rápida e intuitiva).
  • Energia por unidade de volume (densidade de energia) u: é a quantidade de energia contida em cada metro cúbico do meio. Unidade: \mathrm{J/m^{3}}.
  • Potência P: energia emitida por unidade de tempo pela fonte. Unidade: \mathrm{W} = \mathrm{J/s}.
  • Intensidade I: potência que atravessa uma unidade de área perpendicular à direção de propagação. Unidade: \mathrm{W/m^{2}}. É o fluxo de potência por área.
  • Velocidade de propagação v: velocidade com que a perturbação (e, portanto, a energia associada) se desloca no espaço. Unidade: \mathrm{m/s}.
Imagem mental simples que vamos usar: pense em um pequeno disco de área A perpendicular ao sentido de propagação. Em um intervalo de tempo \Delta t, a onda desloca-se uma distância v\,\Delta t. Assim, a energia que estava no “tubo” de volume A\cdot v\,\Delta t atravessa o disco.

Passo 3

Derivação matemática de I = u\,v (resposta da parte (a)), explicando cada passo.
  • Volume do cilindro de folga que atravessa a área A em \Delta t: \text{volume} = A\cdot v\,\Delta t.
    Explicação: em tempo \Delta t a perturbação avança v\,\Delta t; o volume que ocupava essa “fatia” é área vezes comprimento.
  • Energia contida nesse volume: \text{energia} = u \times (\text{volume}) = u\cdot A\cdot v\,\Delta t.
    Explicação: multiplicou-se a densidade de energia u pelo volume para obter energia total nessa fatia.
  • Potência que passa pela área A (energia por unidade de tempo): \text{potência atraves de }A = \frac{\text{energia}}{\Delta t} = \frac{u\cdot A\cdot v\,\Delta t}{\Delta t} = u\cdot A\cdot v.ê
  • Intensidade I é a potência por unidade de área: I = \frac{\text{potência atravessando }A}{A} = \frac{u\cdot A\cdot v}{A} = u\;v.ê
Portanto demonstramos que I = u\,v.
Significado: a intensidade (fluxo de energia por área) é exatamente a energia volumétrica que passa por segundo multiplicada pela velocidade de transporte.

Passo 4

Preparação para a parte (b): intensidade de uma fonte pontual isotrópica.
  • Quando uma fonte pontual emite potência P isotropicamente, essa potência distribui-se uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio r. A área dessa superfície é \text{área da esfera} = 4\pi r^{2}.á
  • Logo a intensidade à distância r é a potência por unidade de área: I(r) = \frac{P}{4\pi r^{2}}.
Aqui P está em \mathrm{W}, r em \mathrm{m}, e I resultará em \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 5

Cálculo numérico da intensidade I no ponto a r=4,80\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
  • Primeiro calcule r^{2}: r^{2} = \bigl(4,80\times10^{5}\bigr)^{2} = 2,304\times10^{11}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Agora calcule 4\pi r^{2}: 4\pi r^{2} = 4\pi \times 2,304\times10^{11} \approx 2,895\times10^{12}\\ \mathrm{m^{2}}.
(Usei \pi\approx3{,}1416 para obter o número aproximado.)
  • Intensidade: I = \frac{P}{4\pi r^{2}} = \frac{5,00\times10^{4}}{2,895\times10^{12}} \approx 1,73\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Explicação: P=5,00\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Usando I = u\,v para obter a densidade de energia u (final da parte (b)).
  • Isolando u: u = \frac{I}{v}.
  • Substituindo I\approx 1,73\times10^{-8}\\ \mathrm{W/m^{2}} e v=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}: u = \frac{1,73\times10^{-8}}{3,0\times10^{8}} \approx 5,76\times10^{-17}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
  • Arredondando com duas ou três cifras significativas compatíveis com os dados, podemos escrever: u \approx 5,8\times10^{-17}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
Pequeno comentário motivacional: esse número é muito pequeno — ondas de rádio transportam pouca energia por metro cúbico tão longe da fonte — mas é suficiente para transmissão de sinais; tudo isso faz sentido fisicamente.

Resposta

(a) I = u\,v
(b) u \approx 5,8\times10^{-17}\\ \mathrm{J/m^{3}}

Exercícios relacionados