(a) Mostre que a intensidade I 6 o produto da energia por unidade de volume u pela velocidade de propagação v de uma perturbação ondulatória. (b) Ondas de rádio propagam-se à velocidado de
. Encontre a densidade de energia em uma onda de rádio a 480 km de uma fonte de 50000 W , supondo que as ondas são esféricas e a propagação é isotrópica.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
-
O enunciado faz duas perguntas:
- (a) Mostrar que a intensidade
é o produto da energia por unidade de volume pela velocidade de propagação de uma perturbação ondulatória. - (b) Calcular a densidade de energia
numa onda de rádio a de uma fonte de potência , sabendo que as ondas são esféricas e a propagação é isotrópica e que a velocidade de propagação é .
- (a) Mostrar que a intensidade
-
Dados numéricos fornecidos:
- Potência da fonte:
. - Distância da fonte:
. - Velocidade de propagação:
. - Pressuposição: ondas esféricas e emissão isotrópica (energia espalha-se uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio
).
- Potência da fonte:
Passo 2
Entendendo as grandezas físicas envolvidas (aula rápida e intuitiva).
- Energia por unidade de volume (densidade de energia)
: é a quantidade de energia contida em cada metro cúbico do meio. Unidade: . - Potência
: energia emitida por unidade de tempo pela fonte. Unidade: . - Intensidade
: potência que atravessa uma unidade de área perpendicular à direção de propagação. Unidade: . É o fluxo de potência por área. - Velocidade de propagação
: velocidade com que a perturbação (e, portanto, a energia associada) se desloca no espaço. Unidade: .
Imagem mental simples que vamos usar: pense em um pequeno disco de área
perpendicular ao sentido de propagação. Em um intervalo de tempo
, a onda desloca-se uma distância
. Assim, a energia que estava no “tubo” de volume
atravessa o disco.
Passo 3
Derivação matemática de
(resposta da parte (a)), explicando cada passo.
-
Volume do cilindro de folga que atravessa a área
em : Explicação: em tempoa perturbação avança ; o volume que ocupava essa “fatia” é área vezes comprimento. -
Energia contida nesse volume:Explicação: multiplicou-se a densidade de energia
pelo volume para obter energia total nessa fatia. -
Potência que passa pela área
(energia por unidade de tempo): -
Intensidade
é a potência por unidade de área:
Portanto demonstramos que
Significado: a intensidade (fluxo de energia por área) é exatamente a energia volumétrica que passa por segundo multiplicada pela velocidade de transporte.
Passo 4
Preparação para a parte (b): intensidade de uma fonte pontual isotrópica.
-
Quando uma fonte pontual emite potência
isotropicamente, essa potência distribui-se uniformemente sobre a superfície de uma esfera de raio . A área dessa superfície é -
Logo a intensidade à distância
é a potência por unidade de área:
Aqui
está em
,
em
, e
resultará em
.
Passo 5
Cálculo numérico da intensidade
no ponto a
.
-
Primeiro calcule
: -
Agora calcule
:
(Usei
para obter o número aproximado.)
- Intensidade:
Explicação:
.
Passo 6
Usando
para obter a densidade de energia
(final da parte (b)).
-
Isolando
: -
Substituindo
e : -
Arredondando com duas ou três cifras significativas compatíveis com os dados, podemos escrever:
Pequeno comentário motivacional: esse número é muito pequeno — ondas de rádio transportam pouca energia por metro cúbico tão longe da fonte — mas é suficiente para transmissão de sinais; tudo isso faz sentido fisicamente.
Resposta
(a)
(b)