(7) (a) Como são gerados os grupos espaciais em 2D?
Passo 1
Beleza, o exercício pergunta como são gerados os grupos espaciais em 2D. Isso está relacionado à simetria em duas dimensões, como as que vemos em padrões de azulejos ou logotipos. Para resolver isso, vamos precisar entender os tipos de simetrias que podemos ter em 2D, como rotações e reflexões, e como elas formam grupos matemáticos chamados grupos de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre simetrias rotacionais. Imagine que você tem um objeto no plano 2D, como um cilindro. Se você girar esse cilindro em torno do seu eixo central por um certo ângulo e ele parecer igual ao original, essa rotação é uma simetria. O conjunto de todas essas rotações que deixam o objeto inalterado forma um grupo cíclico, denotado por
, onde
é o número de rotações distintas que trazem o objeto de volta à posição original em 360 graus. Por exemplo,
tem rotações de 90°, 180°, 270° e 360°.
Passo 3
Agora, além das rotações, temos as simetrias reflexivas ou espelhos. Isso significa que o objeto pode ser refletido em uma linha (eixo de simetria) e ainda parecer igual. Quando combinamos rotações e reflexões, formamos grupos maiores chamados grupos diédricos, denotados por
. Esses grupos incluem todas as rotações de
mais as reflexões em
eixos diferentes.
Passo 4
Para gerar todos os grupos espaciais em 2D, combinamos esses tipos de simetrias. Os grupos cíclicos
contêm apenas rotações, enquanto os grupos diédricos
contêm rotações e reflexões. Esses são todos os grupos de simetria possíveis em duas dimensões, já que em 2D, as únicas simetrias são rotacionais e reflexivas.
Resposta
Em 2D, os grupos espaciais são gerados combinando simetrias rotacionais, formando grupos cíclicos
, e adicionando simetrias reflexivas, formando grupos diédricos
. Assim, todos os grupos de simetria em duas dimensões são os grupos cíclicos e diédricos.