9 (a) Quais são os índices direcionais para um vetor que passa do ponto 1 / 31 / 20 ao ponto 2 / 33 / 41 / 2 em uma célula unitária tetragonal?
(b) Repita a parte (a) para uma célula unitária romboédrica.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os índices direcionais [u\,v\,w] de um vetor que liga dois pontos dados em coordenadas fracionárias da rede cristalina. Na parte (a) a célula é tetragonal ( a=b\neq c) e na parte (b) a célula é romboédrica ( a=b=c, \alpha=\beta=\gamma\neq90^\circ). Para resolver, usamos a definição de índices direcionais em função das diferenças de coordenadas fracionárias ao longo dos vetores de base da célula.

Passo 2

Calcular as diferenças de coordenadas fracionárias:
\Delta u = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3},
\Delta v = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4},
\Delta w = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}.
Para obter índices inteiros, eliminamos os denominadores comuns. Os denominadores são 3, 4 e 2, cujo mínimo múltiplo comum é 12. Multiplicamos cada \Delta por 12:
u' = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4,\quad v' = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3,\quad w' = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6.

Passo 3

Na rede tetragonal, os índices direcionais [u\,v\,w] são exatamente [4\,3\,6], pois usamos as frações relativas aos vetores de base \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} e clareamos denominadores.

Passo 4

Na rede romboédrica, mesmo com a=b=c e ângulos \alpha\neq90^\circ, a definição de índices direcionais em coordenadas fracionárias é a mesma: as diferenças (\Delta u,\Delta v,\Delta w) sobre os vetores de base primitiva. Logo, após limpar denominadores, obtemos de novo [4\,3\,6].

Resposta

(a) [4\,3\,6]
(b) [4\,3\,6]

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