A, B e C são 3 pontos distintos em uma reta. Se \overline{A B} mede o dobro de \overline{B C} e \overline{A C}=18 \mathrm{~cm}, determine \overline{A B} e \overline{B C}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
Informações dadas:
A, B e C são três pontos distintos sobre uma reta.
\overline{A B} mede o dobro de \overline{B C}. Em forma matemática: \overline{A B}=2\overline{B C}.
\overline{A C}=18\\ \mathrm{cm}.
O que pedir: determinar os comprimentos de \overline{A B} e de \overline{B C}.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): quando três pontos são colineares, exatamente um deles fica entre os outros dois. Se um ponto está entre os outros dois, o comprimento do segmento que une os extremos é a soma dos dois segmentos internos. Em símbolos:
Se B está entre A e C, então \overline{A C}=\overline{A B}+\overline{B C}.
Se A está entre B e C, então \overline{B C}=\overline{B A}+\overline{A C}.
Se C está entre A e B, então \overline{A B}=\overline{A C}+\overline{C B}.
Vamos testar as possibilidades (cada possibilidade gera uma equação linear simples). Mostrarei passo a passo como montar e resolver as equações.
Passo 3
Caso 1: suponha que B esteja entre A e C. Então valem
\overline{A C}=\overline{A B}+\overline{B C}.
Como \overline{A B}=2\overline{B C}, escrevemos, chamando \overline{B C}=x (aqui eu troco por uma variável para poder resolver):
\overline{A C}=2x+x=3x.
Como \overline{A C}=18\\ \mathrm{cm}, temos
3x=18.
Dividindo ambos os lados por 3,
x=6\\ \mathrm{cm}.
Logo \overline{B C}=6\\ \mathrm{cm} e \overline{A B}=2x=12\\ \mathrm{cm}.
Passo 4
Verificação rápida do Caso 1: \overline{A B}+\overline{B C}=12+6=18=\overline{A C}, tudo consistente e todos os comprimentos são positivos. Portanto essa é uma solução válida (configuração A–B–C).
Passo 5
Caso 2: suponha que A esteja entre B e C. Então
\overline{B C}=\overline{B A}+\overline{A C}.
Mas \overline{B A}=\overline{A B}=2\overline{B C}. Substituindo:
\overline{B C}=2\overline{B C}+\overline{A C}.
Isolando termos obtemos
-\overline{B C}=\overline{A C},
ou seja \overline{B C}=-\overline{A C}. Isso exigiria um comprimento negativo (impossível). Portanto esse caso é impossível e é descartado.
Passo 6
Caso 3: suponha que C esteja entre A e B. Então
\overline{A B}=\overline{A C}+\overline{C B}.
Mas \overline{C B}=\overline{B C} e \overline{A B}=2\overline{B C}. Substituindo e chamando \overline{B C}=y,
2y=\overline{A C}+y.
Subtraindo y de ambos os lados,
y=\overline{A C}.
Como \overline{A C}=18\\ \mathrm{cm}, obtemos
\overline{B C}=18\\ \mathrm{cm},
e portanto
\overline{A B}=2\cdot 18=36\\ \mathrm{cm}.
Passo 7
Verificação rápida do Caso 3: \overline{A C}+\overline{C B}=18+18=36=\overline{A B}, consistente e todos os comprimentos positivos. Portanto esse caso também é válido (configuração A–C–B).
Observação final e dica de prova: sem informação sobre qual ponto está entre os outros, o problema admite duas configurações possíveis (Caso 1 e Caso 3), gerando duas soluções distintas. Em muitos exercícios escolares o intérprete assume que o ponto que aparece no meio da notação (aqui B em \overline{A B} e \overline{B C}) está entre A e C; nesse entendimento a resposta seria a do Caso 1. Mas formalmente ambas as soluções são geometricamente possíveis, como mostramos.
Resposta
\overline{A B}=12\\ \mathrm{cm},\\ \overline{B C}=6\\ \mathrm{cm} (se B estiver entre A e C). \overline{A B}=36\\ \mathrm{cm},\\ \overline{B C}=18\\ \mathrm{cm} (se C estiver entre A e B).