Calcule as medidas de dois ângulos complementares, sabendo que o complemento do dobro de um deles é igual à terça parte do outro.

Passo 1

O enunciado pede as medidas de dois ângulos complementares, ou seja, dois ângulos cuja soma é 90^\circ.
Informações dadas:
  • Existem dois ângulos (vou chamá‑los de incógnitas).
  • Os dois são complementares, então sua soma vale 90^\circ.
  • “O complemento do dobro de um deles é igual à terça parte do outro.” (vamos traduzir isso em equação nos próximos passos).

Passo 2

Definimos variáveis para trabalhar com calma e sem confusão: seja x a medida do primeiro ângulo e y a medida do segundo ângulo, ambos em graus. Assim:
x+y=90^\circ.
Explicando a frase do enunciado: “o complemento do dobro de um deles” significa "o complemento (ou seja, 90^\circ menos) do dobro de x" se escolhermos x como o ângulo que é dobrado. Então esse complemento é
90^\circ - 2x.
A frase diz que isso é igual à “terça parte do outro”, ou seja, igual a \dfrac{1}{3}y. Assim montamos a segunda equação:
90^\circ - 2x = \dfrac{1}{3}y.
(Se alguém preferir, podia trocar os papéis de x e y; isso só troca a ordem das soluções, mas o par de valores será o mesmo, apenas invertido.)

Passo 3

Agora temos o sistema linear em x\) e \(y\): \[\begin{cases} x+y=90^\circ,\\[4pt] 90^\circ-2x=\dfrac{1}{3}y. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, expressamos (y] a partir da primeira equação:
y=90^\circ - x.]

Passo 4

Substituímos essa expressão de y na segunda equação:
90^\circ - 2x = \dfrac{1}{3}\bigl(90^\circ - x\bigr).
Agora vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por 3 (isso evita frações e facilita os cálculos):
3\bigl(90^\circ - 2x\bigr)=90^\circ - x.

Passo 5

Expandimos o lado esquerdo e simplificamos:
270^\circ - 6x = 90^\circ - x.
Passamos os termos com x para um lado e os termos numéricos para o outro:
270^\circ - 90^\circ = -x + 6x.
180^\circ = 5x.
Portanto,
x=\dfrac{180^\circ}{5}=36^\circ.

Passo 6

Agora encontramos y usando y=90^\circ - x:
y=90^\circ - 36^\circ = 54^\circ.

Passo 7

Vamos checar a condição original para garantir que tudo bate: o complemento do dobro de x é
90^\circ - 2\cdot 36^\circ = 90^\circ - 72^\circ = 18^\circ.
A terça parte de y é
\dfrac{1}{3}\cdot 54^\circ = 18^\circ.
Como são iguais, a solução está correta.

Resposta

36^\circ
54^\circ

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