Calcule as medidas de dois ângulos complementares, sabendo que o complemento do dobro de um deles é igual à terça parte do outro.
Passo 1
O enunciado pede as medidas de dois ângulos complementares, ou seja, dois ângulos cuja soma é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Existem dois ângulos (vou chamá‑los de incógnitas).
- Os dois são complementares, então sua soma vale
. - “O complemento do dobro de um deles é igual à terça parte do outro.” (vamos traduzir isso em equação nos próximos passos).
Passo 2
Definimos variáveis para trabalhar com calma e sem confusão: seja
a medida do primeiro ângulo e
a medida do segundo ângulo, ambos em graus. Assim:
Explicando a frase do enunciado: “o complemento do dobro de um deles” significa "o complemento (ou seja,
menos) do dobro de
" se escolhermos
como o ângulo que é dobrado. Então esse complemento é
A frase diz que isso é igual à “terça parte do outro”, ou seja, igual a
. Assim montamos a segunda equação:
(Se alguém preferir, podia trocar os papéis de
e
; isso só troca a ordem das soluções, mas o par de valores será o mesmo, apenas invertido.)
Passo 3
Agora temos o sistema linear em
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, expressamos (y] a partir da primeira equação:
]
Passo 4
Substituímos essa expressão de
na segunda equação:
Agora vamos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
(isso evita frações e facilita os cálculos):
Passo 5
Expandimos o lado esquerdo e simplificamos:
Passamos os termos com
para um lado e os termos numéricos para o outro:
Portanto,
Passo 6
Agora encontramos
usando
:
Passo 7
Vamos checar a condição original para garantir que tudo bate: o complemento do dobro de
é
A terça parte de
é
Como são iguais, a solução está correta.