Prove que dois ângulos que têm o mesmo suplemento são congruentes.

Passo 1

O enunciado diz: dois ângulos têm o mesmo suplemento. Queremos provar que esses dois ângulos são congruentes.
Dados relevantes que o enunciado fornece (escrito de forma clara):
  • Seja \alpha a medida do primeiro ângulo.
  • Seja \beta a medida do segundo ângulo.
  • Ambos têm o mesmo suplemento; isto é, existe um ângulo cuja medida chamaremos de \gamma que é suplemento de \alpha e também suplemento de \beta.
O que nos pedem: mostrar que os dois ângulos são congruentes (ou seja, que suas medidas são iguais: \alpha=\beta).

Passo 2

Explicando o que significa “suplemento” (aula curtinha e prática).
  • Definição: um ângulo \delta é suplemento de um ângulo cuja medida é x quando as medidas somam 180^\circ. Em fórmulas: se \delta é suplemento de x, então
x+\delta=180^\circ.
  • Intuição simples: ângulos suplementares somam uma linha reta, isto é, 180^\circ. Não precisa decorar mais do que isso; sempre que você vir "suplemento de ..." escreva essa soma igual a 180^\circ.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso problema. Como \gamma é suplemento de \alpha, temos
\alpha+\gamma=180^\circ.
Como \gamma também é suplemento de \beta, temos
\beta+\gamma=180^\circ.
Essas duas equações vêm diretamente da definição de suplemento.

Passo 4

Usando as duas igualdades para relacionar \alpha e \beta. Ambas as expressões à esquerda são iguais a 180^\circ, logo são iguais entre si; isto é,
\alpha+\gamma=\beta+\gamma.
Aqui usei a propriedade transitiva da igualdade: se A=180^\circ e B=180^\circ, então A=B.

Passo 5

Aplicando a propriedade de cancelamento (ou soma inversa) para eliminar \gamma. A propriedade diz: se u+v=w+v, então u=w (podemos subtrair a mesma quantidade v dos dois lados da igualdade). Subtraindo \gamma de ambos os membros da igualdade do passo anterior, obtemos
\alpha=\beta.
Expliquei o passo: subtraímos \gamma dos dois lados; como a subtração é a operação inversa da adição, a igualdade permanece válida.

Passo 6

Concluindo com a definição de congruência de ângulos.
  • Definição: dois ângulos são congruentes quando têm a mesma medida.
    Como mostramos que \alpha=\beta, concluímos que os dois ângulos têm a mesma medida, logo são congruentes.

Resposta

Os ângulos são congruentes, isto é, \alpha=\beta.

Exercícios relacionados