Se a e b são os pontos de inflexão de f(x)=x^4-2 x^3-12 x^2+4 x-15, então a^2+b^2 é igual a
(A) 5 .
(B) 2 .
(C) 8 .
(D) 13 .
(E) outro valor.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^4-2x^3-12x^2+4x-15 e pede a soma dos quadrados das abscissas dos pontos de inflexão a e b. Vamos usar o critério de pontos de inflexão pela segunda derivada: resolver f''(x)=0 e verificar mudança de sinal.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f'(x)=4x^3-6x^2-24x+4
f''(x)=12x^2-12x-24

Passo 3

Para achar as possíveis abscissas de inflexão, resolvemos
f''(x)=0
12(x^2-x-2)=0
x^2-x-2=0
Aplicando a fórmula quadrática,
x=1pmraiz1+82=1pm32
Logo, as soluções são x=-1 e x=2.

Passo 4

Como f''(x) é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo, ele muda de sinal em cada raiz distinta. Então x=-1 e x=2 são de fato pontos de inflexão, e podemos identificar a=-1 e b=2 (ou vice-versa).

Passo 5

Calculamos a soma dos quadrados:
a^2+b^2=(-1)^2+2^2=1+4=5

Resposta

5

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