Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^{\prime}-\frac{1}{t} y=-t

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
y' - 1t,y = -t
e pede a solução geral. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y' + P(t),y = Q(t),
onde aqui
P(t) = -1t, Q(t) = -t

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(t) = expl(integral P(t),dtr) = expl(integral -tfrac1t,dtr) = expl(-ln|t|r) = 1|t|
Para simplificar, em um intervalo onde t>0 (ou t<0), podemos tomar
mu(t)=1t

Passo 4

Multiplicamos a EDO por mu(t)=1/t, obtendo
1ty' - 1t^2y = -1
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(t)y, isto é,
l(tfrac1tyr)' = -1

Passo 5

Integramos em t:
integral l(tfrac1tyr)'dt = integral -1,dt Longrightarrow tfrac1ty = -t + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por t, temos
y(t) = -t^2 + C,t

Resposta

y(t) = C,t - t^2,
com C constante arbitrária.

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