Questão 1. (Lineares de primeira ordem) Resolva as EDOs ou PVIs abaixo:
y^{\prime}+y=1-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
y'+y = 1 - t
Isso é uma equação linear no formato
y' + P(t),y = Q(t),
com P(t)=1 e Q(t)=1-t. Vamos usar a técnica do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1,dt = e^t
Multiplicando ambos os lados da EDO por mu(t) obtemos
(y,e^t)' = (1 - t),e^t

Passo 3

Integramos em relação a t:
y,e^t = integral (1 - t),e^t,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para calcular integral (1 - t)e^t,dt fazemos
integral (1 - t)e^t,dt = integral e^t,dt ;-;integral t,e^t,dt = e^t ;-;(t,e^t - e^t) = (2 - t),e^t
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y,e^t = (2 - t),e^t + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^t:
y(t) = 2 - t + C,e^-t

Resposta

y(t) = 2 - t + C,e^-t

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