Quais são os possíveis estados para a configuração d^3 ? Determine as energias coulômbica, Pic, e de troca, Pie, para cada caso. Classifique os estados em ordem crescente de energia.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede duas coisas para a configuração d³ de um átomo livre:
  1. Quais são os possíveis termos (ou estados LS) que surgem quando eu acoplo L e S desses três elétrons.
  2. Para cada termo, calcular a energia coulômbica (que vem da repulsão ) e a energia de troca (que vem dos integrais de troca, tipo ).
    Depois ainda a gente coloca tudo em ordem de energia crescente.
    Matéria envolvida: Teoria de termos atômicos, Hund e integrais de Slater–Condon.
    O que vamos precisar:
  • Saber quantos pares de elétrons existem em d³.
  • Entender como a parte coulômbica só depende do número de pares.
  • Entender como a parte de troca depende do spin total (quantos pares paralelos).
  • A segunda regra de Hund: para um mesmo spin (multiplicidade), o termo de maior L fica mais baixo.

Passo 2

Primeiro, os termos possíveis em LS para d³.
  • Cada elétron tem e .
  • A regra de Hund diz: máximo S primeiro → tripla multiplicidade (quartetos). Como são 3 elétrons e cada um tem , o máximo é .
    • Para os valores possíveis de que aparecem nos acoplamentos dão ^4F ( ) e ^4P ( ).
  • Agora multiplicidade dupla ( ). Os acoplamentos de levam a vários : , que são:
    • ^2H ( )
    • ^2G ( )
    • ^2F ( )
    • ^2D ( )
    • ^2P ( )

Passo 3

Energia coulômbica pares = binom32 = 3 :
  • A parte “direta” Pic ;=; 3,F^0 só conta quantos pares de elétrons você tem, porque não depende nem de spin nem de qual orbital exato.
  • Número de pares em 3 elétrons:
  • Então, para todo termo de d³ vale

Passo 4

Energia de troca :
  • Só elétrons com spin paralelo trocam de posição sem gastar energia extra. Quanto mais pares paralelos, mais estável fica o termo (menor energia).
  • Em d³ temos 3 elétrons:
    • Se (quarteto), todos os 3 pares estão com spin paralelo → , onde é um integral de troca médio (pode ser combinação de ).
    • Se (dupletos), só 1 par fica paralelo, os outros dois são antiparalelos → .
  • Resumindo:
    • Para ^4F e ^4P:
    • Para todos os ^2H, ^2G, ^2F, ^2D, ^2P:

Passo 5

Agora usamos a 2ª regra de Hund (maior ^4F;(L=3);<;^4P;(L=1) → menor energia) dentro de cada multiplicidade:
  • Entre os quartetos ( ^2H;(5);<;^2G;(4);<;^2F;(3);<;^2D;(2);<;^2P;(1) fixo), quem tiver maior é mais baixo. Então
  • Entre os dupletos ( fixo), a ordem decrescente de é

Resposta

Termos para d³, ^4F ;<; ^4P ;<; ^2H ;<; ^2G ;<; ^2F ;<; ^2D ;<; ^2P e :
^4F:\quad ;
^4P:\quad ;
^2H:\quad ;
^2G:\quad ;
^2F:\quad ;
^2D:\quad ;
^2P:\quad ;
Ordem de energia \emph{crescente} (do mais estável ao menos estável):

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