Quais são as propriedades dos vetores
e
tais que:
e
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores
e
tais que
e as normas satisfazem
onde definimos
,
e
. O conteúdo aqui é a desigualdade triangular em espaços vetoriais.
Passo 2
Lembramos que, em qualquer espaço normado, vale a desigualdade triangular
com igualdade se e somente se
e
são linearmente dependentes e têm a mesma direção (codirecionais).
Passo 3
No nosso caso temos
ou seja, a desigualdade triangular torna-se igualdade exatamente na condição dada.
Passo 4
Dessa igualdade segue que
e
são colineares e codirecionais. Em particular existe
tal que
Passo 5
Como consequência, o ângulo entre
e
é zero:
e o produto escalar satisfaz
Resposta
Os vetores
e
devem ser colineares e codirecionais (ângulo zero entre eles).