Quais são as propriedades dos vetores \vec{a} e \vec{b} tais que:
\quad \vec{a}+\vec{b}=\vec{c} e \mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c}

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores \vec{a} e \vec{b} tais que
\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}
e as normas satisfazem
\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{c},
onde definimos \mathrm{a}=\|\vec{a}\|, \mathrm{b}=\|\vec{b}\| e \mathrm{c}=\|\vec{c}\|. O conteúdo aqui é a desigualdade triangular em espaços vetoriais.

Passo 2

Lembramos que, em qualquer espaço normado, vale a desigualdade triangular
\|\vec{a}+\vec{b}\|\;\le\;\|\vec{a}\|+\|\vec{b}\|,
com igualdade se e somente se \vec{a} e \vec{b} são linearmente dependentes e têm a mesma direção (codirecionais).

Passo 3

No nosso caso temos
\|\vec{c}\| = \|\vec{a}+\vec{b}\| = \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|,
ou seja, a desigualdade triangular torna-se igualdade exatamente na condição dada.

Passo 4

Dessa igualdade segue que \vec{a} e \vec{b} são colineares e codirecionais. Em particular existe \lambda>0 tal que
\vec{b}=\lambda\,\vec{a}.

Passo 5

Como consequência, o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} é zero:
\angle(\vec{a},\vec{b})=0,
e o produto escalar satisfaz
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.

Resposta

Os vetores \vec{a} e \vec{b} devem ser colineares e codirecionais (ângulo zero entre eles).

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