Quais são os quatro números quânticos do último elétron representado, seguindo a regra de Hund, ao efetuar a representação gráfica de 9 elétrons no subnível 4f?

Passo 1

O enunciado pede: “Quais são os quatro números quânticos do último elétron representado, seguindo a regra de Hund, ao efetuar a representação gráfica de 9 elétrons no subnível 4f?”\n
Informações fornecidas:
\text{número de elétrons} = 9;\quad \text{subnível} = 4f;\quad \text{usar a regra de Hund para preencher orbitais.}úéí

Passo 2

Vamos lembrar o que cada um dos quatro números quânticos significa (aqui é tipo uma mini-aula básica, devagarinho):\n
  1. O número quântico principal \,n\, indica o nível de energia (um inteiro positivo). Ex.: \,n=1,2,3,\dots.\n
  2. O número quântico azimutal (ou secundário) \,l\, determina a forma do orbital e toma valores inteiros de 0 até n-1. Cada letra corresponde a um valor: s\Rightarrow l=0,\; p\Rightarrow l=1,\; d\Rightarrow l=2,\; f\Rightarrow l=3.\n
  3. O número quântico magnético \,m_l\, indica a orientação do orbital no espaço e varia por inteiros de -l até +l. Ou seja, existem 2l+1 valores possíveis.\n
  4. O número quântico de spin \,m_s\, representa o sentido do spin do elétron e só pode ser \,m_s=+\tfrac{1}{2} ou \,m_s=-\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Aplicando as definições ao subnível dado:\n
Como o subnível é 4f, o número principal é \,n=4\, e, por correspondência, o número azimutal é \,l=3 (pois f\Rightarrow l=3).\n
Portanto já temos:
n=4,\qquad l=3.

Passo 4

Agora os valores possíveis de \,m_l\, e \,m_s\, para este subnível:\n
Como l=3, os valores de \,m_l\, são os inteiros
m_l\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\},
isto é 7 orbitais possíveis. E para cada elétron m_s será +\tfrac{1}{2} ou -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Explicar a regra de Hund aplicada aqui (passo a passo):\n
A regra de Hund diz que, ao preencher orbitais degenerados (mesma energia, como os 7 orbitais 4f), devemos primeiro colocar um elétron em cada orbital com spins paralelos (mesmo m_s), antes de começar a emparelhar. Em representações gráficas costuma-se usar \uparrow para \,m_s=+\tfrac{1}{2} e \downarrow para \,m_s=-\tfrac{1}{2}.\n
Então, com 9 elétrons no subnível 4f fazemos: primeiro colocamos 1 elétron em cada um dos 7 orbitais (todos com m_s=+\tfrac{1}{2}). Isso ocupa 7 elétrons. Restam 9-7=2 elétrons que terão que emparelhar com dois dos orbitais já ocupados (cada emparelhamento acrescenta um elétron com m_s=-\tfrac{1}{2} naquele orbital).

Passo 6

Como decidir em quais orbitais ocorrem os emparelhamentos (isto é, onde entram o 8.º e o 9.º elétrons)?\n
A regra de Hund não dita explicitamente a ordem entre orbitais de mesmo l (todos degenerados), mas na representação gráfica de prova normalmente seguimos uma ordem consistente dos m_l (por exemplo crescente: -3,-2,-1,0,1,2,3) e emparelhamos seguindo essa mesma ordem (ou seja, o primeiro emparelhamento no primeiro orbital da sequência, o segundo emparelhamento no segundo orbital da sequência). Essa convenção é a mais usada em exercícios e diagramas de caixas.\n
Seguindo essa convenção, após os 7 elétrons com \uparrow em -3,-2,-1,0,1,2,3, o 8^\circ elétron emparelha m_l=-3 com m_s=-\tfrac{1}{2} e o 9^\circ elétron emparelha m_l=-2 com m_s=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Agora identificamos o “último elétron representado” — o nono elétron — e escrevemos seus quatro números quânticos:\n
  • Já vimos \,n=4\, e \,l=3\,.\n
  • Pelo preenchimento descrito, o nono elétron fica no orbital com \,m_l=-2\,.\n
  • Como é o elétron que emparelha, seu spin é oposto ao das primeiras cargas não pareadas, logo \,m_s=-\tfrac{1}{2}\,.

Resposta

n=4,\; l=3,\; m_l=-2,\; m_s=-\tfrac{1}{2}

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