p(x)=x^5-2 x^4-8 x^3-x^2+2 x+8
Quais são as raízes da equação p(x)=0 ?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio de quinto grau
p(x)=x^5-2x^4-8x^3-x^2+2x+8
e pede as raízes da equação p(x)=0.
Conteúdo: Teorema das raízes racionais e divisão sintética para fatorar polinômios, seguido de resolução de equação do segundo grau para fatores quadráticos.

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, as raízes possíveis são divisores de 8:
pm 1, pm 2, pm 4, pm 8. Vamos testar algumas:
  • x=1:
p(1) = 1 - 2 - 8 - 1 + 2 + 8 = 0,
logo x=1 é raiz.
  • x=-2:
p(-2) = -32 - 32 + 64 - 4 - 4 + 8 = 0,
logo x=-2 é raiz.
  • x=4:
p(4) = 1024 - 512 - 512 - 16 + 8 + 8 = 0,
logo x=4 é raiz.

Passo 3

Agora dividimos p(x) sucessivamente por (x-1), (x+2) e (x-4) usando divisão sintética:
1 Divisão por x-1 ( r=1) em
coeffs 1, -2, -8, -1, 2, 8 dá quociente
x^4 - x^3 - 9x^2 - 10x - 8
2 Divisão desse quociente por x+2 ( r=-2) dá quociente
x^3 - 3x^2 - 3x - 4
3 Divisão desse por x-4 ( r=4) dá quociente
x^2 + x + 1
Portanto
p(x) = (x-1)(x+2)(x-4)l(x^2 + x + 1r)

Passo 4

Resolvendo x^2+x+1=0 pelo discriminante:
De<a = 1^2-4cdot1cdot1 = -3
As raízes são
x = -1pmraiz-32 = -1pm iraiz32

Resposta

As raízes da equação p(x)=0 são
x=1, x=-2, x=4, x=-1+iraiz32, x=-1-iraiz32

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