Use a definição de derivadas para calcular f^prime(x)
f(x)=x^-2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=x^-2 usando a definição de derivada, ou seja
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Para resolver, vamos substituir f(x+h) e f(x) nessa expressão e manipular frações até eliminar o h.

Passo 2

Substituindo f(x+h)=(x+h)^-2 e f(x)=x^-2 na definição, obtemos
f'(x)=limhto0(x+h)^-2-x^-2h

Passo 3

Juntamos as frações no numerador:
(x+h)^-2-x^-2 =1(x+h)^2-1x^2 =x^2-(x+h)^2x^2,(x+h)^2 =-2xh-h^2x^2,(x+h)^2
Então
(x+h)^-2-x^-2h =-2xh-h^2h,x^2,(x+h)^2 =-2x-hx^2,(x+h)^2

Passo 4

Fazendo o limite quando hto0:
f'(x)=limhto0-2x-hx^2,(x+h)^2 =-2xx^2cdot x^2 =-2x^3

Resposta

f'(x)=-2x^-3

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