1. Sejam os vetores \vec{u}=(2,3,-1) e \vec{v}= (-1,3,4). Encontre um vetor \vec{w}=(a, b, c) ortogonal a ambos e de módulo igual a 1. Quantos existem? \mathrm{R}: \vec{w}= \pm \frac{1}{\sqrt{355}}(15,-7,9)

Passo 1

O enunciado pede um vetor \vec{w}=(a,b,c) que seja ortogonal simultaneamente a \vec{u}=(2,3,-1) e a \vec{v}=(-1,3,4) e tenha módulo igual a 1. O conteúdo necessário é o produto vetorial em \mathbb{R}^3 para obter um vetor ortogonal aos dois dados, e em seguida a normalização desse vetor para que seu módulo seja unitário.

Passo 2

Para encontrar um vetor ortogonal a \vec{u} e \vec{v}, calculamos o produto vetorial \vec{u}\times\vec{v}:
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 3 & -1 \\\\ -1 & 3 & 4 \end{vmatrix} =(15,\,-7,\,9).
Agora calculamos o módulo de \vec{u}\times\vec{v}=(15,-7,9):
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{15^2 + (-7)^2 + 9^2} =\sqrt{225 + 49 + 81} =\sqrt{355}.

Passo 3

Para obter um vetor unitário \vec{w}, dividimos o vetor do passo anterior pelo seu módulo. Assim,
\vec{w} =\pm\frac{1}{\sqrt{355}}\,(15,\,-7,\,9).
Como a normalização admite os dois sinais + e , existem exatamente 2 vetores unitários ortogonais a \vec{u} e \vec{v}.

Resposta

\displaystyle \vec{w}=\pm\frac{1}{\sqrt{355}}(15,-7,9). Existem 2 soluções.

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