SAQ 4
Determine the position of centroid of a quadrant O A B of a circle, where arc A B subtends an angle of 90^{\circ} at the centre O and radius O A=a.

Passo 1

O enunciado dá uma quadrante OAB de um círculo com centro em O. O arco AB subtende um ângulo de 90^\circ em O e o raio é OA=a.
O que se pede: determinar a posição do centróide dessa quadrante (ou seja, do centro de massa da região plana limitada pelos raios OA, OB e pelo arco AB).
Informações relevantes dadas:
  • ângulo do setor: 90^\circ = \dfrac{\pi}{2} radianos;
  • raio: a;
  • a região é a parte do disco com 0\le r\le a e 0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2} (se posicionarmos OA sobre o eixo x e OB sobre o eixo y).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas com origem em O, OA ao longo do eixo x positivo e OB ao longo do eixo y positivo. Denotamos o centróide por (\bar x,\bar y). Pela simetria do quadrante em relação à bissetriz do ângulo reto (45°) temos imediatamente que
\bar x=\bar y.
Agora precisamos calcular \bar x usando a definição do centróide de uma lamina uniforme.

Passo 3

Recordando a definição: o coordenada x-do-centróide de uma região plana de área A é
\bar x=\frac{1}{A}\iint_{\text{região}} x\,dA,ã
onde dA é um elemento de área. Aqui é natural usar coordenadas polares porque a região é circular. Nas coordenadas polares temos:
  • x=r\cos\theta,
  • dA=r\,dr\,d\theta,
  • as variações são 0\le r\le a e 0\le\theta\le \dfrac{\pi}{2}.
Substituindo na integral do numerador:
\iint_{\text{quadrante}} x\,dA = \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{a} (r\cos\theta)\,(r\,dr\,d\theta) = \int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\;d\theta\;\int_{0}^{a} r^{2}\,dr.

Passo 4

Calculamos as integrais em ordem:
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a}=\frac{a^{3}}{3}.
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\;d\theta=\left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2}=1.
Logo o numerador da fórmula de \bar x vale
\iint x\,dA=\frac{a^{3}}{3}\cdot 1=\frac{a^{3}}{3}.
A área A do quadrante (um quarto do disco) é
A=\frac{1}{4}\pi a^{2}.
Agora substituímos na definição:
\bar x=\frac{\dfrac{a^{3}}{3}}{\dfrac{\pi a^{2}}{4}} =\frac{a^{3}}{3}\cdot\frac{4}{\pi a^{2}} =\frac{4a}{3\pi}.

Passo 5

Pela simetria já mencionada, \bar y=\bar x. Portanto o centróide tem coordenadas
\left(\bar x,\bar y\right)=\left(\frac{4a}{3\pi},\frac{4a}{3\pi}\right).
Se for desejável mandar a posição do centróide em distância radial a partir de O ao longo da bissetriz (linha a 45^\circ), calculamos
\bar r=\sqrt{\bar x^{2}+\bar y^{2}}=\sqrt{2}\,\bar x =\sqrt{2}\cdot\frac{4a}{3\pi} =\frac{4\sqrt{2}\,a}{3\pi}.

Resposta

\left(\dfrac{4a}{3\pi},\dfrac{4a}{3\pi}\right)
\dfrac{4\sqrt{2}\,a}{3\pi}

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