SAQ 4
Determine the position of centroid of a quadrant
of a circle, where arc
subtends an angle of
at the centre
and radius
.
Determine the position of centroid of a quadrant
Passo 1
O enunciado dá uma quadrante
de um círculo com centro em
. O arco
subtende um ângulo de
em
e o raio é
.
O que se pede: determinar a posição do centróide dessa quadrante (ou seja, do centro de massa da região plana limitada pelos raios ,
e pelo arco
).
O que se pede: determinar a posição do centróide dessa quadrante (ou seja, do centro de massa da região plana limitada pelos raios
Informações relevantes dadas:
- ângulo do setor:
radianos; - raio:
; - a região é a parte do disco com
e (se posicionarmos sobre o eixo e sobre o eixo ).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas cartesianas com origem em
,
ao longo do eixo
positivo e
ao longo do eixo
positivo. Denotamos o centróide por
. Pela simetria do quadrante em relação à bissetriz do ângulo reto (45°) temos imediatamente que
Agora precisamos calcular
usando a definição do centróide de uma lamina uniforme.
Passo 3
Recordando a definição: o coordenada
-do-centróide de uma região plana de área
é
onde
é um elemento de área. Aqui é natural usar coordenadas polares porque a região é circular. Nas coordenadas polares temos:
-
, -
, - as variações são
e .
Substituindo na integral do numerador:
Passo 4
Calculamos as integrais em ordem:
Logo o numerador da fórmula de
vale
A área
do quadrante (um quarto do disco) é
Agora substituímos na definição:
Passo 5
Pela simetria já mencionada,
. Portanto o centróide tem coordenadas
Se for desejável mandar a posição do centróide em distância radial a partir de
ao longo da bissetriz (linha a
), calculamos