Um satélite artificial está orbitando a Terra a uma altitude de 10.000 km . Ele possui um sensor que detecta radiação infravermelha emitida pela superfície terrestre. O sensor tem um campo de visão retangular de 5^circ de largura e 10^circ de altura.
a) Calcule o ângulo sólido subtendido pelo campo de visão do sensor no centro da Terra.
b) Se a superfície da Terra emitir uma intensidade de radiação infravermelha de 50 W / m^2 por esterradiano, qual será a potência total de radiação infravermelha detectada pelo sensor?
c) Explique como o ângulo sólido se relaciona com a área observada na superfície da Terra e a distância do satélite.

Passo 1

O satélite está a uma altura de h=10,000 km acima da superfície da Terra. O raio da Terra vale aproximadamente Rrm T=6371 km, então a distância do centro da Terra ao satélite é
r = Rrm T + h = 6371;rm km + 10000;rm km = 16371;rm km
O sensor tem campo de visão retangular de 5^circ de largura e 10^circ de altura. Vamos calcular:
  • (a) o ângulo sólido Omega desse campo de visão;
  • (b) a potência total recebida, dado que a radiância emitida pela superfície é L=50;W,m^-2,sr^-1;
  • (c) como Omega se relaciona com a área observada e a distância.

Passo 2

Transformamos as aberturas angulares em radianos, pois
1^circ = pi180;rad
Assim,
De<aphi = 5^circ times pi180 = 0,087266;rad,
De<atheta = 10^circ times pi180 = 0,174533;rad

Passo 3

Para um campo de visão retangular pequeno, o ângulo sólido é aproximadamente o produto das aberturas em cada direção:
Omega approx De<aphi;De<atheta = (0,087266),(0,174533) approx 0,01524;sr

Passo 4

A radiância L (em W,m^-2,sr^-1) multiplicada pelo ângulo sólido Omega dá a irradiância (fluxo por unidade de área) captada pelo sensor:
E = L,Omega = (50;W,m^-2,sr^-1),(0,01524;sr) approx 0,762;W,m^-2
Se o sensor tiver área de entrada Arm sen=1;m^2, a potência total será
P = E,Arm sen approx 0,762;W

Passo 5

O ângulo sólido Omega mede a “porção de direções” que um pedaço de superfície subtende visto do observador. Para uma área elementar dA plana, normalmente dOmega = dAcosalphar^2, onde alpha é o ângulo entre a normal à superfície e a linha de vista. Se a superfície estiver orientada de modo que cosalphaapprox1, então
dA approx r^2,dOmega
Ou seja, para um campo de visão fixo (ângulo sólido constante), quanto maior a distância r, maior a área A na Terra que cabe nesse campo de visão (cresce como r^2).

Resposta

(a) Omega approx 0,01524;sr
(b) Papprox 0,762;W (por metro quadrado de área do sensor).
(c) O ângulo sólido relaciona-se com a área observada pela fórmula Aapprox r^2Omega (para superfície aproximadamente perpendicular à vista).

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