Um satélite espião foi lançado dentro de uma órbita circular, com altura de 700 km acima da superfície da Terra. Determine sua velocidade orbital e período.
Passo 1
O enunciado dá que o satélite está em uma órbita circular a uma altura de
acima da superfície da Terra. O que pede:
- Determinar a velocidade orbital do satélite.
- Determinar o período orbital (tempo que leva para dar uma volta completa).
Informações relevantes e constantes que vamos usar (valores numéricos que peguei como padrão para a Terra):
- Raio médio da Terra:
. - Altura do satélite:
. - Constante gravitacional do sistema Terra (produto
, chamado de parâmetro gravitacional): .
As próximas etapas vão explicar a física e as fórmulas usadas e depois calcular passo a passo os valores pedidos.
Passo 2
Princípio físico e fórmulas básicas (explicadinho):
- Para um satélite em órbita circular, a força que mantém o satélite em trajetória curva é a força gravitacional. Essa força fornece a aceleração centrípeta necessária.
- Força gravitacional (lei de Newton):
onde:
-
é a constante da gravitação universal, -
é a massa da Terra, -
é a massa do satélite, -
é a distância do centro da Terra até o satélite. - Força centrípeta necessária para movimento circular de velocidade
:
onde
é a massa do satélite (mesma que acima).
- Igualando forças (
) porque é a gravidade que fornece a centrípeta, e simplificando a massa do satélite , obtemos a expressão para a velocidade orbital em função de :
Explicação das variáveis nessa fórmula:
-
é a velocidade orbital que queremos. -
é o parâmetro gravitacional da Terra (já fornecido). -
é o raio da órbita medido desde o centro da Terra.
Passo 3
Calcular o raio da órbita
(converter tudo para metros):
- Converter o raio da Terra e a altura para metros:
-
. -
.
-
- Somar para obter
:
Passo 4
Calcular a velocidade orbital usando
:
- Colocar os números na fórmula:
- Fazer a divisão interna (mostrando a ordem de grandeza):
- Agora a raiz:
Interpretação: a velocidade é aproximadamente
(ou
, arredondando de forma compatível).
Observação física útil: a massa do satélite não aparece na expressão final — satélites de massas muito diferentes, se estiverem na mesma órbita circular, têm praticamente a mesma velocidade orbital.
Passo 5
Calcular o período orbital
. Duas formas equivalentes; uso a forma direta do período para órbita circular:
- Fórmula relacionando velocidade e período para movimento circular:
- Substituir
e : - Calcular numericamente (mostrando passos): o numerador é
. Dividindo por dá - Converter para minutos para ficar mais intuitivo:
(Obs.: escrevi
para explicitar a ordem de grandeza; em forma simples
é igual a
vezes
, i.e.
foi a notação intermédia; o valor numérico final útil é
que é
mil segundos =
.)
Passo 6
Resumo físico e checagem rápida:
- Velocidade aproximada
e período cerca de minutos são valores típicos de órbitas baixas (LEO). Faz sentido físico: satélites nessa altura costumam completar cerca de 15 órbitas por dia. - Você pode também calcular
diretamente por Kepler: , que dá o mesmo resultado numérico.
Força aquele ânimo: com esses passos você resolve qualquer problema de velocidade/período para órbita circular — só precisa do raio da órbita e do parâmetro gravitacional!