Um satélite espião foi lançado dentro de uma órbita circular, com altura de 700 km acima da superfície da Terra. Determine sua velocidade orbital e período.

Passo 1

O enunciado dá que o satélite está em uma órbita circular a uma altura de 700\\ \text{km} acima da superfície da Terra. O que pede:
  • Determinar a velocidade orbital do satélite.
  • Determinar o período orbital (tempo que leva para dar uma volta completa).
Informações relevantes e constantes que vamos usar (valores numéricos que peguei como padrão para a Terra):
  • Raio médio da Terra: \;R_E = 6\,371\\ \text{km}.
  • Altura do satélite: \;h = 700\\ \text{km}.
  • Constante gravitacional do sistema Terra (produto GM, chamado de parâmetro gravitacional): \;\mu = GM = 3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}.
As próximas etapas vão explicar a física e as fórmulas usadas e depois calcular passo a passo os valores pedidos.

Passo 2

Princípio físico e fórmulas básicas (explicadinho):
  • Para um satélite em órbita circular, a força que mantém o satélite em trajetória curva é a força gravitacional. Essa força fornece a aceleração centrípeta necessária.
  • Força gravitacional (lei de Newton): F_g = \dfrac{G M m}{r^{2}},
onde:
  • G é a constante da gravitação universal,
  • M é a massa da Terra,
  • m é a massa do satélite,
  • r é a distância do centro da Terra até o satélite.
  • Força centrípeta necessária para movimento circular de velocidade v: F_c = \dfrac{m v^{2}}{r},
onde m é a massa do satélite (mesma que acima).
  • Igualando forças ( F_g = F_c) porque é a gravidade que fornece a centrípeta, e simplificando a massa do satélite m, obtemos a expressão para a velocidade orbital em função de r: v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}} = \sqrt{\dfrac{\mu}{r}}.
Explicação das variáveis nessa fórmula:
  • v é a velocidade orbital que queremos.
  • \mu = GM é o parâmetro gravitacional da Terra (já fornecido).
  • r é o raio da órbita medido desde o centro da Terra.

Passo 3

Calcular o raio da órbita r (converter tudo para metros):
  • Converter o raio da Terra e a altura para metros:
    • R_E = 6\,371\\ \text{km} = 6\,371\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
    • h = 700\\ \text{km} = 700\times10^{3}\\ \mathrm{m}.
  • Somar para obter r: r = R_E + h = \left(6\,371+700\right)\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 7\,071\times10^{3}\\ \mathrm{m} = 7{,}071\,000\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a velocidade orbital usando \;v=\sqrt{\dfrac{\mu}{r}}:
  • Colocar os números na fórmula: v = \sqrt{\dfrac{3{,}986\times10^{14}\\ \mathrm{m^{3}/s^{2}}}{7{,}071\times10^{3}\\ \mathrm{m}}}.
  • Fazer a divisão interna (mostrando a ordem de grandeza): \dfrac{3{,}986\times10^{14}}{7{,}071\times10^{3}} \approx 5{,}637\times10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Agora a raiz: v \approx \sqrt{5{,}637\times10^{7}}\\ \mathrm{m/s} \approx 7{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: a velocidade é aproximadamente 7{,}51\\ \mathrm{km/s} (ou 7{,}510\\ \mathrm{m/s}, arredondando de forma compatível).
Observação física útil: a massa do satélite não aparece na expressão final — satélites de massas muito diferentes, se estiverem na mesma órbita circular, têm praticamente a mesma velocidade orbital.

Passo 5

Calcular o período orbital T. Duas formas equivalentes; uso a forma direta do período para órbita circular:
  • Fórmula relacionando velocidade e período para movimento circular: T = \dfrac{2\pi r}{v}.
  • Substituir r e v: T \approx \dfrac{2\pi \cdot 7{,}071\times10^{3}\\ \mathrm{m}}{7{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}}.
  • Calcular numericamente (mostrando passos): o numerador é \;2\pi r \approx 2\pi\cdot7{,}071\times10^{3}\\ \mathrm{m}\approx 4{,}4436\times10^{7}\\ \mathrm{m}. Dividindo por 7{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} T \approx 5{,}924\\ \times10^{3}\\ \mathrm{s}.
  • Converter para minutos para ficar mais intuitivo: T \approx 5{,}924\\ \times10^{3}\\ \mathrm{s} = 5{,}924\\ \mathrm{s}\times10^{0} \approx 5{,}924\\ \mathrm{s} \approx 98{,}7\\ \mathrm{min}.
(Obs.: escrevi 5{,}924\times10^{3}\\ \mathrm{s} para explicitar a ordem de grandeza; em forma simples T\approx5{,}924\cdot10^{3}\\ \mathrm{s} é igual a 5{,}924\\ \mathrm{s} vezes 10^{3}, i.e. 5{,}924\\ \mathrm{s} foi a notação intermédia; o valor numérico final útil é T\approx5{,}924\\ \times10^{3}\\ \mathrm{s} que é 5{,}924 mil segundos = 5{,}924\cdot10^{3}\\ \mathrm{s}=5924\\ \mathrm{s}.)

Passo 6

Resumo físico e checagem rápida:
  • Velocidade aproximada 7{,}5\\ \mathrm{km/s} e período cerca de 99 minutos são valores típicos de órbitas baixas (LEO). Faz sentido físico: satélites nessa altura costumam completar cerca de 15 órbitas por dia.
  • Você pode também calcular T diretamente por Kepler: \;T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{\mu}}, que dá o mesmo resultado numérico.
Força aquele ânimo: com esses passos você resolve qualquer problema de velocidade/período para órbita circular — só precisa do raio da órbita e do parâmetro gravitacional!

Resposta

v \approx 7{,}51\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}
T \approx 5{,}924\times10^{3}\\ \mathrm{s} \approx 98{,}7\\ \mathrm{min}

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