Em um átomo de hidrogênio, em seu estado fundamental de mais baixa energia (também chamado de estado fundamental), o elétron gira em torno do próton e descreve uma órbita circular de raio 0,53 \times 10^{-10} m. Calcule (a) a energia potencial, (b) a energia cinética, (c) a energia total, (d) a frequência de movimento. (Para comparação, a frequência da radiação emitida pelo átomo de hidrogênio é da ordem de 10^{15} \mathrm{~Hz}.)

Passo 1

O enunciado dá um átomo de hidrogênio no estado fundamental com o elétron descrevendo uma órbita circular de raio \displaystyle r = 0,53\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}. Pede-se calcular:
  • (a) a energia potencial;
  • (b) a energia cinética;
  • (c) a energia total;
  • (d) a frequência do movimento orbital do elétron.
Informações constantes que vou usar (valores conhecidos de constantes físicas):
\begin{aligned} &e = 1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{C},\\\ &m_e = 9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg},\\\ &\varepsilon_0 = 8{,}8541878128\times 10^{-12}\\ \mathrm{F\!/m},\\\ &k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2\!/C^2}. \end{aligned}
Resumo do que será feito, sem resolver ainda: usar a força de Coulomb como força centrípeta para relacionar velocidade e raio; calcular energia potencial elétrica U pela expressão coulombiana; obter energia cinética T a partir da velocidade; somar para obter a energia total E; e usar f=v/(2\pi r) para obter a frequência orbital.

Passo 2

Energia potencial elétrica entre próton e elétron e sua interpretação.
A energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por
U(r)=-\dfrac{k\,e^2}{r},
onde U é a energia potencial (o sinal negativo indica que há uma interação atrativa e que o elétron está ligado ao próton), k é a constante eletrostática definida acima, e é a carga elementar e r é a separação entre as cargas.
Agora calculamos numericamente \dfrac{k e^2}{r}. Primeiro calculemos k e^2:
k e^2 \approx \left(8{,}9875517923\times 10^{9}\right)\left(1{,}602176634\times 10^{-19}\right)^2.
Elevando e ao quadrado:
e^2 = \left(1{,}602176634\times 10^{-19}\right)^2 \approx 2{,}5669699\times 10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
Multiplicando por k:
k e^2 \approx 8{,}9875517923\times 10^{9}\times 2{,}5669699\times 10^{-38} \approx 2{,}308\times 10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora dividimos por r=0{,}53\times 10^{-10}\\ \mathrm{m}=5{,}3\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}:
\dfrac{k e^2}{r}\approx \dfrac{2{,}308\times 10^{-28}}{5{,}3\times 10^{-11}} \approx 4{,}356\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Portanto a energia potencial é
U = -\dfrac{k e^2}{r} \approx -4{,}356\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Se preferir em elétron‑volts, usar 1\\ \mathrm{eV}=1{,}602176634\times 10^{-19}\\ \mathrm{J}:
U \approx -\dfrac{4{,}356\times 10^{-18}}{1{,}602176634\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx -27{,}21\\ \mathrm{eV}.
Breve explicação didática: essa U é a energia associada à atração elétrica entre próton e elétron; o valor negativo indica que é necessário fornecer energia para separar o elétron do próton (sair da órbita ligada).

Passo 3

Energia cinética usando a condição de órbita circular (força centrípeta = força de Coulomb).
Num movimento circular uniforme a massa sofre uma força centrípeta
F_\text{cent}=\dfrac{m_e v^2}{r},
que, no modelo de Bohr, é fornecida pela força de Coulomb:
F_\text{Coulomb}=\dfrac{k e^2}{r^2}.
Igualando as duas:
\dfrac{m_e v^2}{r}=\dfrac{k e^2}{r^2}\quad\Rightarrow\quad m_e v^2=\dfrac{k e^2}{r}.
A energia cinética é T=\dfrac{1}{2}m_e v^2. Substituindo m_e v^2 obtemos
T=\dfrac{1}{2}\,m_e v^2=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{k e^2}{r}=\dfrac{k e^2}{2r}.
Como já calculamos \dfrac{k e^2}{r}\approx 4{,}356\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}, temos
T\approx \dfrac{4{,}356\times 10^{-18}}{2}=2{,}178\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Em elétron‑volts:
T\approx \dfrac{2{,}178\times 10^{-18}}{1{,}602176634\times 10^{-19}}\\ \mathrm{eV}\approx 13{,}605\\ \mathrm{eV}.
Didática extra: observe a relação clássica para órbitas ligadas de Coulomb, chamada relação virial neste contexto, que implica U=-2T. Isso aparece diretamente das fórmulas acima: U=-k e^2/r e T=+k e^2/(2r).

Passo 4

Energia total do elétron (energia mecânica) e interpretação.
A energia total é a soma
E=T+U=\dfrac{k e^2}{2r}-\dfrac{k e^2}{r}=-\dfrac{k e^2}{2r}.
Usando o valor numérico já calculado,
E\approx -\dfrac{4{,}356\times 10^{-18}}{2}=-2{,}178\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}.
Em elétron‑volts:
E\approx -13{,}605\\ \mathrm{eV},
que é o valor bem conhecido da energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio (aproximadamente -13{,}6\\ \mathrm{eV}). Interpretação: energia negativa indica estado ligado; o módulo |E| é a energia mínima que se precisa fornecer para ionizar o elétron (tirá‑lo para E=0).

Passo 5

Velocidade orbital v e cálculo da frequência f.
Da equação m_e v^2 = k e^2 / r isolamos v:
v=\sqrt{\dfrac{k e^2}{m_e r}}.
Substituindo valores numéricos (usando \dfrac{k e^2}{r}\approx 4{,}356\times 10^{-18}\\ \mathrm{J} e m_e=9{,}10938356\times 10^{-31}\\ \mathrm{kg}):
v\approx \sqrt{\dfrac{4{,}356\times 10^{-18}}{9{,}10938356\times 10^{-31}}} \approx 2{,}187\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
Este valor coincide com o valor clássico do elétron no estado fundamental e também pode ser escrito como v\approx \alpha c, onde \alpha\approx 1/137 é a constante fina e c a velocidade da luz.
A frequência do movimento circular (número de voltas por segundo) é
f=\dfrac{v}{2\pi r}.
Substituindo v\approx 2{,}187\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s} e r=5{,}3\times 10^{-11}\\ \mathrm{m}:
f\approx \dfrac{2{,}187\times 10^{6}}{2\pi\cdot 5{,}3\times 10^{-11}} \approx 6{,}57\times 10^{15}\\ \mathrm{Hz}.
Comentário final: esse valor é da ordem de 10^{15}\\ \mathrm{Hz}, compatível com a indicação do enunciado (a frequência da radiação emitida por transições no átomo de hidrogênio tem ordem de 10^{15}\\ \mathrm{Hz}; a frequência orbital calculada aqui é um valor clássico associado ao movimento do elétron no modelo de Bohr).

Passo 6

Recapitulando e encorajamento.
Resumo das relações usadas (passo a passo simples que você pode reproduzir na prova):
  • Usar U=-\dfrac{k e^2}{r}.
  • Igualar força centrípeta e Coulomb: \dfrac{m_e v^2}{r}=\dfrac{k e^2}{r^2} para obter v.
  • Calcular T=\dfrac{1}{2}m_e v^2=\dfrac{k e^2}{2r}.
  • Calcular E=T+U=-\dfrac{k e^2}{2r}.
  • Calcular f=\dfrac{v}{2\pi r}.
Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse caminho é padrão em provas. Vai dar certo, siga essas etapas em qualquer questão parecida e lembre‑se das relações U=-2T e E=-T no caso coulombiano de órbita circular.

Resposta

(a) U\approx -4{,}356\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx -27{,}21\\ \mathrm{eV}
(b) T\approx 2{,}178\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx 13{,}605\\ \mathrm{eV}
(c) E\approx -2{,}178\times 10^{-18}\\ \mathrm{J}\approx -13{,}605\\ \mathrm{eV}
(d) f\approx 6{,}57\times 10^{15}\\ \mathrm{Hz}

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