Em um átomo de hidrogênio, em seu estado fundamental de mais baixa energia (também chamado de estado fundamental), o elétron gira em torno do próton e descreve uma órbita circular de raio
. Calcule (a) a energia potencial, (b) a energia cinética, (c) a energia total, (d) a frequência de movimento. (Para comparação, a frequência da radiação emitida pelo átomo de hidrogênio é da ordem de
.)
Passo 1
O enunciado dá um átomo de hidrogênio no estado fundamental com o elétron descrevendo uma órbita circular de raio
. Pede-se calcular:
- (a) a energia potencial;
- (b) a energia cinética;
- (c) a energia total;
- (d) a frequência do movimento orbital do elétron.
Informações constantes que vou usar (valores conhecidos de constantes físicas):
Resumo do que será feito, sem resolver ainda: usar a força de Coulomb como força centrípeta para relacionar velocidade e raio; calcular energia potencial elétrica
pela expressão coulombiana; obter energia cinética
a partir da velocidade; somar para obter a energia total
; e usar
para obter a frequência orbital.
Passo 2
Energia potencial elétrica entre próton e elétron e sua interpretação.
A energia potencial elétrica entre duas cargas puntiformes é dada por
onde
é a energia potencial (o sinal negativo indica que há uma interação atrativa e que o elétron está ligado ao próton),
é a constante eletrostática definida acima,
é a carga elementar e
é a separação entre as cargas.
Agora calculamos numericamente
. Primeiro calculemos
:
Elevando
ao quadrado:
Multiplicando por
:
Agora dividimos por
:
Portanto a energia potencial é
Se preferir em elétron‑volts, usar
:
Breve explicação didática: essa
é a energia associada à atração elétrica entre próton e elétron; o valor negativo indica que é necessário fornecer energia para separar o elétron do próton (sair da órbita ligada).
Passo 3
Energia cinética usando a condição de órbita circular (força centrípeta = força de Coulomb).
Num movimento circular uniforme a massa sofre uma força centrípeta
que, no modelo de Bohr, é fornecida pela força de Coulomb:
Igualando as duas:
A energia cinética é
. Substituindo
obtemos
Como já calculamos
, temos
Em elétron‑volts:
Didática extra: observe a relação clássica para órbitas ligadas de Coulomb, chamada relação virial neste contexto, que implica
. Isso aparece diretamente das fórmulas acima:
e
.
Passo 4
Energia total do elétron (energia mecânica) e interpretação.
A energia total é a soma
Usando o valor numérico já calculado,
Em elétron‑volts:
que é o valor bem conhecido da energia do estado fundamental do átomo de hidrogênio (aproximadamente
). Interpretação: energia negativa indica estado ligado; o módulo
é a energia mínima que se precisa fornecer para ionizar o elétron (tirá‑lo para
).
Passo 5
Velocidade orbital
e cálculo da frequência
.
Da equação
isolamos
:
Substituindo valores numéricos (usando
e
):
Este valor coincide com o valor clássico do elétron no estado fundamental e também pode ser escrito como
, onde
é a constante fina e
a velocidade da luz.
A frequência do movimento circular (número de voltas por segundo) é
Substituindo
e
:
Comentário final: esse valor é da ordem de
, compatível com a indicação do enunciado (a frequência da radiação emitida por transições no átomo de hidrogênio tem ordem de
; a frequência orbital calculada aqui é um valor clássico associado ao movimento do elétron no modelo de Bohr).
Passo 6
Recapitulando e encorajamento.
Resumo das relações usadas (passo a passo simples que você pode reproduzir na prova):
- Usar
. - Igualar força centrípeta e Coulomb:
para obter . - Calcular
. - Calcular
. - Calcular
.
Você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse caminho é padrão em provas. Vai dar certo, siga essas etapas em qualquer questão parecida e lembre‑se das relações
e
no caso coulombiano de órbita circular.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)