O cometa de Halley orbita o Sol num período de 76,2 anos.
a) Ache o semieixo maior da órbita do cometa de Halley em unidades astronômicas (1 UA é igual ao semieixo maior da órbita da Terra).
b) Se o cometa de Halley está a 0,56 UA do Sol, no periélio, qual é sua máxima distância do Sol e qual é sua excentricidade?
a) Ache o semieixo maior da órbita do cometa de Halley em unidades astronômicas (1 UA é igual ao semieixo maior da órbita da Terra).
b) Se o cometa de Halley está a 0,56 UA do Sol, no periélio, qual é sua máxima distância do Sol e qual é sua excentricidade?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro):
-
Dados fornecidos:
- Período orbital do cometa de Halley:
. - Distância ao Sol no periélio:
. - Unidade:
é o semieixo maior da órbita da Terra.
- Período orbital do cometa de Halley:
-
Perguntas:
a) Encontrar o semieixo maiorda órbita do cometa, em UA.
b) Sabendo que no periélio a distância é, encontrar a máxima distância (apélio) e a excentricidade .
Passo 2
Fórmula que usamos para (a) e que justifico passo a passo:
- Para objetos que orbitam o Sol (quando a massa do corpo orbitante é desprezível em relação à massa do Sol) vale a terceira lei de Kepler. Nestas unidades convenientes —
em anos e em UA — a lei fica muito simples:
onde
-
é o período orbital (em anos), -
é o semieixo maior (em UA).
Essa fórmula significa: o quadrado do período é igual ao cubo do semieixo maior. Ela facilita muito porque já incorpora a massa do Sol e as constantes gravitacionais quando usamos anos e UA.
Para obter
isolamos na fórmula:
Agora aplicamos ao caso:
. Primeiro calculo
:
Queremos a raiz cúbica de
, ou seja
. Uma forma simples de estimar sem calculadora é comparar com cubos próximos:
, que está bem próximo de
. Usando uma correção linear rápida (método de Newton simplificado) temos uma boa aproximação:
Então o semieixo maior do cometa de Halley é aproximadamente
.
Passo 3
Agora a parte (b). Conceitos e fórmulas relevantes:
- Em uma órbita elíptica, o periélio
e o afélio estão relacionados ao semieixo maior e à excentricidade por:
onde
-
é a distância mínima ao foco (periélio), -
é a distância máxima ao foco (apélio), -
é a excentricidade ( para elipses ).
A partir de
isolamos
:
Substituindo os valores que temos (
e
):
Faço a divisão aproximada:
portanto
Assim a excentricidade é muito alta, cerca de
, indicando uma órbita bem alongada.
Passo 4
Calcular o apélio
. Usamos
. Para reduzir erro por arredondamento é prático usar a identidade
que vem de somar
e
e isolar
.
Com
e
:
Portanto a máxima distância ao Sol (apélio) é aproximadamente
.
Passo 5
Resumo numérico e interpretação final (um empurrãozinho motivacional): o cometa de Halley tem semieixo maior cerca de
, passa bem perto do Sol (
no periélio) e vai muito longe no apélio (cerca de
). A excentricidade
confirma que a órbita é muito alongada — típico de cometas que vêm de regiões distantes do Sistema Solar. Você está indo bem — essas contas são as que normalmente pedem numa prova e são rápidas de fazer se souber aplicar as fórmulas certas.