O cometa de Halley orbita o Sol num período de 76,2 anos.
a) Ache o semieixo maior da órbita do cometa de Halley em unidades astronômicas (1 UA é igual ao semieixo maior da órbita da Terra).
b) Se o cometa de Halley está a 0,56 UA do Sol, no periélio, qual é sua máxima distância do Sol e qual é sua excentricidade?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar bem claro):
  • Dados fornecidos:
    • Período orbital do cometa de Halley: P = 76{,}2\\ \text{anos}.
    • Distância ao Sol no periélio: q = 0{,}56\\ \text{UA}.
    • Unidade: 1\\ \text{UA} é o semieixo maior da órbita da Terra.
  • Perguntas:
    a) Encontrar o semieixo maior a da órbita do cometa, em UA.
    b) Sabendo que no periélio a distância é q = 0{,}56\\ \text{UA}, encontrar a máxima distância (apélio) Q e a excentricidade e.

Passo 2

Fórmula que usamos para (a) e que justifico passo a passo:
  • Para objetos que orbitam o Sol (quando a massa do corpo orbitante é desprezível em relação à massa do Sol) vale a terceira lei de Kepler. Nestas unidades convenientes — P em anos e a em UA — a lei fica muito simples:
P^{2}=a^{3},
onde
  • P é o período orbital (em anos),
  • a é o semieixo maior (em UA).
Essa fórmula significa: o quadrado do período é igual ao cubo do semieixo maior. Ela facilita muito porque já incorpora a massa do Sol e as constantes gravitacionais quando usamos anos e UA.
Para obter a isolamos na fórmula:
a = P^{2/3}.
Agora aplicamos ao caso: P = 76{,}2. Primeiro calculo P^{2}:
P^{2} = (76{,}2)^{2} = 5806{,}44.
Queremos a raiz cúbica de 5806{,}44, ou seja a = (5806{,}44)^{1/3}. Uma forma simples de estimar sem calculadora é comparar com cubos próximos: 18^{3}=5832, que está bem próximo de 5806{,}44. Usando uma correção linear rápida (método de Newton simplificado) temos uma boa aproximação:
a \approx 17{,}98\\ \text{UA}.
Então o semieixo maior do cometa de Halley é aproximadamente a \approx 17{,}98\\ \text{UA}.

Passo 3

Agora a parte (b). Conceitos e fórmulas relevantes:
  • Em uma órbita elíptica, o periélio q e o afélio Q estão relacionados ao semieixo maior a e à excentricidade e por:
q = a(1 - e), \qquad Q = a(1 + e),
onde
  • q é a distância mínima ao foco (periélio),
  • Q é a distância máxima ao foco (apélio),
  • e é a excentricidade ( 0\le e<1 para elipses ).
A partir de q = a(1-e) isolamos e:
e = 1 - \frac{q}{a}.
Substituindo os valores que temos ( q = 0{,}56\\ \text{UA} e a \approx 17{,}98\\ \text{UA}):
e \approx 1 - \frac{0{,}56}{17{,}98}.
Faço a divisão aproximada:
\frac{0{,}56}{17{,}98} \approx 0{,}03115,
portanto
e \approx 1 - 0{,}03115 = 0{,}96885 \approx 0{,}969.
Assim a excentricidade é muito alta, cerca de 0{,}969, indicando uma órbita bem alongada.

Passo 4

Calcular o apélio Q. Usamos Q = a(1+e). Para reduzir erro por arredondamento é prático usar a identidade
Q = 2a - q,
que vem de somar q=a(1-e) e Q=a(1+e) e isolar Q.
Com a \approx 17{,}98\\ \text{UA} e q = 0{,}56\\ \text{UA}:
Q \approx 2\cdot 17{,}98 - 0{,}56 = 35{,}96 - 0{,}56 = 35{,}40\\ \text{UA}.
Portanto a máxima distância ao Sol (apélio) é aproximadamente Q \approx 35{,}40\\ \text{UA}.

Passo 5

Resumo numérico e interpretação final (um empurrãozinho motivacional): o cometa de Halley tem semieixo maior cerca de 18\\ \text{UA}, passa bem perto do Sol ( 0{,}56\\ \text{UA} no periélio) e vai muito longe no apélio (cerca de 35{,}4\\ \text{UA}). A excentricidade e\approx0{,}97 confirma que a órbita é muito alongada — típico de cometas que vêm de regiões distantes do Sistema Solar. Você está indo bem — essas contas são as que normalmente pedem numa prova e são rápidas de fazer se souber aplicar as fórmulas certas.

Resposta

a \approx 17{,}98\\ \text{UA}
Q \approx 35{,}40\\ \text{UA}
e \approx 0{,}969

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