Um satélite de masa m, originalmente na superfície da Terra, é colocado em órbita em uma altitude h acima da superfície. Qual o período do satélite considerando uma órbita circular?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um satélite de massa $ m $ que está na superfície da Terra e foi colocado em uma órbita circular a uma altura $ h $ acima da superfície. Queremos descobrir o período dessa órbita, ou seja, quanto tempo o satélite leva para dar uma volta completa ao redor da Terra. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Leis do Movimento Circular e Gravitação Universal.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber a distância total do satélite até o centro da Terra. A Terra tem um raio $ R $, então a distância $ r $ do satélite ao centro da Terra é a soma do raio da Terra com a altura da órbita:
R
Isso é importante porque a força gravitacional que mantém o satélite em órbita depende dessa distância.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que o satélite está em movimento circular, o que significa que há uma força centrípeta necessária para manter esse movimento. A força centrípeta $ F_c $ é dada por:
Fc
Onde:
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ v $ é a velocidade do satélite,
  • $ r $ é a distância do satélite ao centro da Terra.

Passo 4

Por outro lado, a força que mantém o satélite na órbita é a força gravitacional $ F_g $ entre a Terra e o satélite, dada por:
Fg
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ($ 6,674 \times 10^{-11} , Nm2/\text{kg}2 $),
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ r $ é a distância entre os centros da Terra e do satélite.

Passo 5

Para que o satélite permaneça em órbita estável, a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional:
m v^2r = G M mr^2
Podemos simplificar essa equação cancelando $ m $ e multiplicando ambos os lados por $ r $:
m

Passo 6

A velocidade $ v $ do satélite também está relacionada ao período da órbita $ T $ e à distância $ r $ pela fórmula:
v
Substituindo essa expressão na equação anterior:
T
Simplificando:
r

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ T $. Multiplicando ambos os lados por $ T^2 $ e dividindo por $ G M $:
T
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ T $:
T^2

Resposta

O período do satélite em órbita circular a uma altura $ h $ é dado por:
h
Onde:
  • $ R $ é o raio da Terra,
  • $ h $ é a altura da órbita,
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ M $ é a massa da Terra.

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