Um satélite de masa m, originalmente na superfície da Terra, é colocado em órbita em uma altitude h acima da superfície. De onde o satélite deve ser lançado para minimizar a energia necessária para colocá-lo em órbita?

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: temos um satélite de massa que sai da superfície da Terra e a gente quer colocá-lo numa órbita circular a uma altitude . A pergunta é “de onde na Terra a gente deve lançá-lo para gastar o mínimo de energia possível?”. Isso cai em mecânica orbital (energia potencial gravitacional, energia cinética) e também na ideia de que a rotação da Terra dá um empurrãozinho extra. Vamos usar fórmulas de energia potencial gravitacional, energia cinética da órbita e da rotação terrestre.

Passo 2

Antes de tudo, escrevemos a energia total que o satélite precisa ter em órbita circular a raio Urm orb = -G MT mr (com Krm orb = 12 m vrm orb^2 o raio da Terra):
  • Energia potencial gravitacional na órbita: vrm orb = raizG MTr
  • Energia cinética na órbita: Krm orb = 12 m G MTr = G MT m2r e sabemos da terceira lei de Kepler que Erm orb = Krm orb + Urm orb = G MT m2r - G MT mr = -G MT m2r
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Então a energia mecânica total em órbita é

Passo 3

Agora, a energia que o satélite tinha antes do lançamento (na superfície) também tem duas partes:
  1. Energia potencial gravitacional no solo: Urm ini = -G MT mRT
  2. Energia cinética que ele já ganha por estar “montado” na Terra girando: Krm rot = 12 m vrm rot^2, onde Krm rot = 12 m (omega RT cosvarphi)^2 = 12 m ,omega^2 RT^2 cos^2varphi . Aqui Erm ini = Urm ini + Krm rot = -G MT mRT + 12 m ,omega^2 RT^2 cos^2varphi é a velocidade angular da Terra e é a latitude de lançamento. Então
Dessa forma

Passo 4

A energia que a gente precisa “dar” ao satélite é a diferença
De
Substituindo:
De
Arrumando os sinais:
De
Note que só o último termo depende da latitude . Como esse termo está subtraindo energia, quanto maior for , menor será .

Passo 5

Para minimizar a gente quer maximizar . O máximo de é 1, que ocorre quando , ou seja, no Equador. Além disso, tem de lançar na direção leste para aproveitar o sentido do giro da Terra.

Resposta

Você deve lançar o satélite a partir do Equador, indo para o leste, pois aí a energia cinética extra de que a Terra já fornece é máxima, e isso reduz ao máximo a energia que o foguete precisa gastar.

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