Um satélite de masa
, originalmente na superfície da Terra, é colocado em órbita em uma altitude
acima da superfície. De onde o satélite deve ser lançado para minimizar a energia necessária para colocá-lo em órbita?
Passo 1
Beleza, o enunciado é o seguinte: temos um satélite de massa
que sai da superfície da Terra e a gente quer colocá-lo numa órbita circular a uma altitude
. A pergunta é “de onde na Terra a gente deve lançá-lo para gastar o mínimo de energia possível?”. Isso cai em mecânica orbital (energia potencial gravitacional, energia cinética) e também na ideia de que a rotação da Terra dá um empurrãozinho extra. Vamos usar fórmulas de energia potencial gravitacional, energia cinética da órbita e da rotação terrestre.
Passo 2
Antes de tudo, escrevemos a energia total que o satélite precisa ter em órbita circular a raio
(com
o raio da Terra):
- Energia potencial gravitacional na órbita:
- Energia cinética na órbita:
e sabemos da terceira lei de Kepler que
Logo
Então a energia mecânica total em órbita é
Passo 3
Agora, a energia que o satélite tinha antes do lançamento (na superfície) também tem duas partes:
- Energia potencial gravitacional no solo:
- Energia cinética que ele já ganha por estar “montado” na Terra girando:
onde . Aqui é a velocidade angular da Terra e é a latitude de lançamento. Então
Dessa forma
Passo 4
A energia que a gente precisa “dar” ao satélite é a diferença
Substituindo:
Arrumando os sinais:
Note que só o último termo depende da latitude
. Como esse termo está subtraindo energia, quanto maior for
, menor será
.
Passo 5
Para minimizar
a gente quer maximizar
. O máximo de
é 1, que ocorre quando
, ou seja, no Equador. Além disso, tem de lançar na direção leste para aproveitar o sentido do giro da Terra.
Resposta
Você deve lançar o satélite a partir do Equador, indo para o leste, pois aí a energia cinética extra de
que a Terra já fornece é máxima, e isso reduz ao máximo a energia que o foguete precisa gastar.