Um satélite está em uma órbita circular de raio
em torno da Terra. A área
delimitada pela órbita é proporcional a
, já que
. Determine a forma de variação com r da velocidade escalar do satélite: (Respostas: (a)
; (b)
; ©
; (d)
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória circular de raio $ r $. A área $ A $ dessa órbita é proporcional a $ r^2 $, já que $ A = \pi r^2 $. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade escalar do satélite varia com o raio $ r $ da órbita. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular e as leis da gravitação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um satélite em órbita circular, a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular é fornecida pela força gravitacional da Terra. A força centrípeta ($ F_c $) é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ v $ é a velocidade escalar do satélite,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 3
A força gravitacional ($ F_g $) que mantém o satélite na órbita é dada por:
onde:
- $ G $ é a constante da gravitação universal,
- $ M $ é a massa da Terra,
- $ m $ é a massa do satélite,
- $ r $ é o raio da órbita.
Passo 4
Como a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional para que o satélite permaneça em órbita estável, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação cancelando a massa $ m $ dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ v^2 $:
Passo 7
Para encontrar $ v $, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados:
Passo 8
Observando a expressão final, vemos que a velocidade $ v $ é proporcional a $ r^{-0,5} $, já que podemos reescrever a equação como:
Resposta
A velocidade escalar do satélite varia com o raio $ r $ da órbita conforme $ r^{-0,5} $. Portanto, a resposta correta é a opção (d) $ \mathbf{r}^{-0,5} $.