Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A delimitada pela órbita é proporcional a r^2, já que A=pi r^2. Determine a forma de variação com r da velocidade escalar do satélite: (Respostas: (a) r^1,5; (b) r^-1; © r^0,5; (d) r^-0,5 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um satélite que está orbitando a Terra em uma trajetória circular de raio $ r $. A área $ A $ dessa órbita é proporcional a $ r^2 $, já que $ A = \pi r^2 $. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade escalar do satélite varia com o raio $ r $ da órbita. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular e as leis da gravitação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um satélite em órbita circular, a força centrípeta necessária para manter o satélite em movimento circular é fornecida pela força gravitacional da Terra. A força centrípeta ($ F_c $) é dada por:
Fc
onde:
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ v $ é a velocidade escalar do satélite,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 3

A força gravitacional ($ F_g $) que mantém o satélite na órbita é dada por:
Fg
onde:
  • $ G $ é a constante da gravitação universal,
  • $ M $ é a massa da Terra,
  • $ m $ é a massa do satélite,
  • $ r $ é o raio da órbita.

Passo 4

Como a força centrípeta deve ser igual à força gravitacional para que o satélite permaneça em órbita estável, podemos igualar as duas expressões:
m v^2r = G M mr^2

Passo 5

Podemos simplificar essa equação cancelando a massa $ m $ dos dois lados:
m

Passo 6

Agora, vamos isolar $ v^2 $:
v^2

Passo 7

Para encontrar $ v $, basta tirar a raiz quadrada dos dois lados:
v

Passo 8

Observando a expressão final, vemos que a velocidade $ v $ é proporcional a $ r^{-0,5} $, já que podemos reescrever a equação como:
v

Resposta

A velocidade escalar do satélite varia com o raio $ r $ da órbita conforme $ r^{-0,5} $. Portanto, a resposta correta é a opção (d) $ \mathbf{r}^{-0,5} $.

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