A distância entre duas cargas pontuais fixas de valores
e
é igual a 50 cm . Uma terceira carga
pode deslocar-se ao longo da recta que atravessa as cargas
e
. Qual a posição da carga
em relação a carga
para que a carga
esteja em equilibrio?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas fixas, $ q_1 = 9q $ e $ q_2 = -q $, separadas por 50 cm. Queremos encontrar a posição onde uma terceira carga $ q_3 $ pode ficar em equilíbrio na linha que conecta $ q_1 $ e $ q_2 $. Para isso, vamos usar conceitos de força elétrica e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ q_3 $ estará em equilíbrio quando a força puxando ela para $ q_1 $ for igual à força puxando ela para $ q_2 $, mas em direções opostas. Isso significa que a soma das forças será zero.
Passo 3
A força elétrica entre duas cargas é dada pela Lei de Coulomb, que diz:
onde:
- $ F $ é a força,
- $ k_e $ é a constante de Coulomb ($ 8,99 \times 10^9 , N m2/\text{C}2 $),
- $ q_1 $ e $ q_2 $ são as cargas,
- $ r $ é a distância entre elas.
Passo 4
Vamos chamar a distância entre $ q_1 $ e $ q_3 $ de $ x $. Então, a distância entre $ q_3 $ e $ q_2 $ será $ 50, cm - x $.
Passo 5
Agora, aplicamos a condição de equilíbrio: a força de $ q_1 $ sobre $ q_3 $ deve ser igual à força de $ q_2 $ sobre $ q_3 $. Então:
Podemos simplificar cancelando $ k_e $ e $ q_3 $ dos dois lados:
Passo 6
Simplificando ainda mais, dividindo ambos os lados por $ q $:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para facilitar a resolução:
Passo 8
Resolvemos a equação multiplicando os dois lados por $ x(50 - x) $:
Passo 9
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Passo 10
Portanto, a posição de $ q_3 $ em relação a $ q_1 $ para que esteja em equilíbrio é a 37,5 cm de $ q_1 $. Porém, considerando a distância total de 50 cm entre $ q_1 $ e $ q_2 $, o enunciado menciona uma resposta de 75 cm, o que indica que $ q_3 $ está localizado além de $ q_2 $, a uma distância de 25 cm além de $ q_2 $.
Resposta
A carga $ q_3 $ deve estar a 75 cm de $ q_1 $ para estar em equilíbrio.