Um satélite está em órbita circular ao redor de um planeta. A razão da energia cinética do satélite para sua energia potencial gravitacional, K/Ug, é uma constante cujo valor é independente da massa do satélite, da massa do planeta, do raio de órbita e da velocidade orbital. Ache o valor dessa constante. (A energia potencial é tomada como zero à infinita separação.)
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a razão constante entre a energia cinética do satélite e sua energia potencial gravitacional, isto é a quantidade
. As informações dadas são:
- O satélite descreve uma órbita circular de raio
ao redor de um planeta. - A energia potencial gravitacional é tomada como zero no infinito (ou seja,
quando ). - A razão
é dita ser uma constante independente de (massa do satélite), (massa do planeta), e da velocidade orbital — devo encontrar esse valor numérico.
Passo 2
Primeiro, lembrar a expressão da energia potencial gravitacional (com zero em
). Para duas massas
e
separadas por distância
,
onde
é a constante gravitacional. Explicando o sinal negativo: como a referência
está no infinito, aproximar as massas (reduzir
) diminui a energia potencial — por isso
é negativo para órbitas ligadas.
Passo 3
A energia cinética do satélite de massa
com velocidade orbital
é
Aqui
aparece por ser a massa do satélite;
é a velocidade na órbita circular.
Passo 4
Para uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Escrevendo equilíbrio das forças (módulos):
Explicação: o termo à esquerda é a força centrípeta requerida para manter a massa
descrevendo um círculo de raio
; o termo à direita é a força gravitacional que age sobre
. As massas
cancelam, mostrando que a velocidade orbital não depende de
.
Passo 5
Da equação do passo anterior isolamos
. Cancelando
e multiplicando por
,
Passo 6
Substituo
na expressão de
:
Passo 7
Agora calculo a razão pedida
usando
do passo 6 e
do passo 2:
No numerador e no denominador aparece o fator comum
, que cancela. Ficamos com
Interpretação curta: a razão é
, independente de
,
,
ou
, como o enunciado antecipou. (Como consequência,
e a energia total
.)