Um satélite está em órbita circular ao redor de um planeta. A razão da energia cinética do satélite para sua energia potencial gravitacional, K/Ug, é uma constante cujo valor é independente da massa do satélite, da massa do planeta, do raio de órbita e da velocidade orbital. Ache o valor dessa constante. (A energia potencial é tomada como zero à infinita separação.)

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a razão constante entre a energia cinética do satélite e sua energia potencial gravitacional, isto é a quantidade K/U_g. As informações dadas são:
  • O satélite descreve uma órbita circular de raio r ao redor de um planeta.
  • A energia potencial gravitacional é tomada como zero no infinito (ou seja, U_g\to0 quando r\to\infty).
  • A razão K/U_g é dita ser uma constante independente de m (massa do satélite), M (massa do planeta), r e da velocidade orbital — devo encontrar esse valor numérico.

Passo 2

Primeiro, lembrar a expressão da energia potencial gravitacional (com zero em r=\infty). Para duas massas M e m separadas por distância r,
U_g = -\dfrac{G M m}{r},
onde G é a constante gravitacional. Explicando o sinal negativo: como a referência U_g=0 está no infinito, aproximar as massas (reduzir r) diminui a energia potencial — por isso U_g é negativo para órbitas ligadas.

Passo 3

A energia cinética do satélite de massa m com velocidade orbital v é
K = \tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui m aparece por ser a massa do satélite; v é a velocidade na órbita circular.

Passo 4

Para uma órbita circular, a força gravitacional fornece a aceleração centrípeta necessária. Escrevendo equilíbrio das forças (módulos):
\dfrac{m v^{2}}{r} = \dfrac{G M m}{r^{2}}.
Explicação: o termo à esquerda é a força centrípeta requerida para manter a massa m descrevendo um círculo de raio r; o termo à direita é a força gravitacional que age sobre m. As massas m cancelam, mostrando que a velocidade orbital não depende de m.

Passo 5

Da equação do passo anterior isolamos v^{2}. Cancelando m e multiplicando por r,
v^{2} = \dfrac{G M}{r}.

Passo 6

Substituo v^{2} na expressão de K:
K = \tfrac{1}{2} m v^{2} = \tfrac{1}{2} m \cdot \dfrac{G M}{r} = \dfrac{G M m}{2r}.

Passo 7

Agora calculo a razão pedida K/U_g usando K do passo 6 e U_g do passo 2:
\frac{K}{U_g} = \frac{\dfrac{G M m}{2r}}{-\dfrac{G M m}{r}}.
No numerador e no denominador aparece o fator comum \dfrac{G M m}{r}, que cancela. Ficamos com
\frac{K}{U_g} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-1} = -\dfrac{1}{2}.
Interpretação curta: a razão é -\tfrac{1}{2}, independente de m, M, r ou v, como o enunciado antecipou. (Como consequência, K = -\tfrac{1}{2}U_g e a energia total E=K+U_g = -K = \tfrac{U_g}{2} = -\dfrac{G M m}{2r}.)

Resposta

-\dfrac{1}{2}

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