Foi descoberto um asteroide que tem uma pequena lua que o orbita numa trajetória circular, a distância de 100 km , e com um período de 40 h . O asteroide é aproximadamente esférico (incomum para tal pequeno corpo) com raio de 20 km .
a) Ache a aceleração da gravidade na superfície do asteroide.
b) Ache a velocidade de escape do asteroide.
a) Ache a aceleração da gravidade na superfície do asteroide.
b) Ache a velocidade de escape do asteroide.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (peguei todos do enunciado):
- distância entre o centro do asteroide e a pequena lua (raio da órbita):
. - período orbital da lua:
. - raio do asteroide (superfície até o centro):
.
O que o enunciado pede:
(a) a aceleração da gravidade na superfície do asteroide (ou seja em
);
(b) a velocidade de escape do asteroide (ou seja a partir da superfície de raio
).
(a) a aceleração da gravidade na superfície do asteroide (ou seja
(b) a velocidade de escape do asteroide (ou seja
Observações de unidade que vou usar (conversões que farei automaticamente nos próximos passos):
- transformar quilômetros em metros:
; - transformar horas em segundos:
.
Passo 2
Encontrar a massa do asteroide a partir da órbita da lua (princípio físico usado).
Explicação do método (passo-a-passo e por que funciona):
Explicação do método (passo-a-passo e por que funciona):
- A força centrípeta necessária para a lua orbitar é fornecida pela gravidade do asteroide. Igualando as duas força resulta na relação
onde:
-
é a constante gravitacional universal, -
é a massa do asteroide (o que queremos encontrar indiretamente), -
é a massa da lua (cancela-se), -
é o raio da órbita (distância centro–lua), -
é a velocidade orbital da lua. - Podemos reescrever em termos da velocidade angular
com . Substituindo fica
- Assim primeiro calculo
, depois obtenho e daí se necessário.
Cálculos numéricos (converter unidades primeiro):
Calcular
:
Calcular
:
Se for desejável a massa
explicitamente, usamos
e
(Para as partes seguintes basta conhecer
; calculei
apenas para referência.)
Passo 3
Aceleração da gravidade na superfície: fórmula e explicação.
- A aceleração da gravidade na superfície a uma distância
do centro para um corpo esférico uniforme (ou aproximadamente esférico) é dada por
onde
é a massa do asteroide e
o raio do asteroide.
- Temos já
e convertido a metros.
Converter raio:
Calcular
:
Agora calcular
:
Interpretando: isso é muito pequeno comparado à gravidade da Terra (
), mas faz sentido para um corpo tão pequeno.
Passo 4
Velocidade de escape: derivação física e cálculo.
- A velocidade de escape a partir da superfície de raio
vem da conservação de energia: energia cinética mínima necessária para que um corpo chegue a infinito com velocidade zero deve igualar a energia potencial gravitacional. Isso leva à fórmula
ou seja
- Já temos
e , então aplicamos diretamente.
Calcular:
Arredondando de forma prática para a prova,
.
Passo 5
Resumo dos resultados numéricos (com comentários breves para ajudar na prova):
- Usei os dados da órbita para obter
pela relação . - A partir de
calculei com e com . - Valores finais foram arredondados com precisão adequada para uma prova manual.