Foi descoberto um asteroide que tem uma pequena lua que o orbita numa trajetória circular, a distância de 100 km , e com um período de 40 h . O asteroide é aproximadamente esférico (incomum para tal pequeno corpo) com raio de 20 km .
a) Ache a aceleração da gravidade na superfície do asteroide.
b) Ache a velocidade de escape do asteroide.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • distância entre o centro do asteroide e a pequena lua (raio da órbita): r_{\text{orb}}=100\\ \text{km}.
  • período orbital da lua: T=40\\ \text{h}.
  • raio do asteroide (superfície até o centro): R=20\\ \text{km}.
O que o enunciado pede:
(a) a aceleração da gravidade na superfície do asteroide (ou seja g em R);
(b) a velocidade de escape do asteroide (ou seja v_{\rm esc} a partir da superfície de raio R).
Observações de unidade que vou usar (conversões que farei automaticamente nos próximos passos):
  • transformar quilômetros em metros: 1\\ \text{km}=1000\\ \text{m};
  • transformar horas em segundos: 1\\ \text{h}=3600\\ \text{s}.

Passo 2

Encontrar a massa do asteroide a partir da órbita da lua (princípio físico usado).
Explicação do método (passo-a-passo e por que funciona):
  • A força centrípeta necessária para a lua orbitar é fornecida pela gravidade do asteroide. Igualando as duas força resulta na relação
\frac{G M m}{r_{\text{orb}}^{2}} = m \frac{v^{2}}{r_{\text{orb}}},
onde:
  • G é a constante gravitacional universal,
  • M é a massa do asteroide (o que queremos encontrar indiretamente),
  • m é a massa da lua (cancela-se),
  • r_{\text{orb}} é o raio da órbita (distância centro–lua),
  • v é a velocidade orbital da lua.
  • Podemos reescrever em termos da velocidade angular \omega com v=\omega r_{\text{orb}}. Substituindo fica
G M = \omega^{2} r_{\text{orb}}^{3}.
  • Assim primeiro calculo \omega = \dfrac{2\pi}{T}, depois obtenho G M e daí M se necessário.
Cálculos numéricos (converter unidades primeiro):
r_{\text{orb}} = 100\\ \text{km} = 100\,000\\ \text{m} = 1{,}0\times 10^{5}\\ \text{m},
T = 40\\ \text{h} = 40\times 3600\\ \text{s} = 144{,}000\\ \text{s}.
Calcular \omega:
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{144{,}000}\\ \text{s}^{-1} \approx 4{,}3633237\times 10^{-5}\\ \text{s}^{-1}.
Calcular \omega^{2} r_{\text{orb}}^{3}:
\omega^{2} \approx \left(4{,}3633237\times 10^{-5}\right)^{2} \approx 1{,}904364\times 10^{-9}\\ \text{s}^{-2},
r_{\text{orb}}^{3} = \left(1{,}0\times 10^{5}\right)^{3} = 1{,}0\times 10^{15}\\ \text{m}^{3},
G M = \omega^{2} r_{\text{orb}}^{3} \approx 1{,}904364\times 10^{-9}\times 1{,}0\times 10^{15} = 1{,}904364\times 10^{6}\\ \text{m}^{3}\text{s}^{-2}.
Se for desejável a massa M explicitamente, usamos G=6{,}67430\times 10^{-11}\\ \text{m}^{3}\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} e
M=\frac{G M}{G}=\frac{1{,}904364\times 10^{6}}{6{,}67430\times 10^{-11}}\approx 2{,}85409\times 10^{16}\\ \text{kg}.
(Para as partes seguintes basta conhecer G M; calculei M apenas para referência.)

Passo 3

Aceleração da gravidade na superfície: fórmula e explicação.
  • A aceleração da gravidade na superfície a uma distância R do centro para um corpo esférico uniforme (ou aproximadamente esférico) é dada por
g = \frac{G M}{R^{2}},
onde M é a massa do asteroide e R o raio do asteroide.
  • Temos já G M \approx 1{,}904364\times 10^{6}\\ \text{m}^{3}\text{s}^{-2} e R convertido a metros.
Converter raio:
R = 20\\ \text{km} = 20{,}000\\ \text{m} = 2{,}0\times 10^{4}\\ \text{m}.
Calcular R^{2}:
R^{2} = \left(2{,}0\times 10^{4}\right)^{2} = 4{,}0\times 10^{8}\\ \text{m}^{2}.
Agora calcular g:
g = \frac{1{,}904364\times 10^{6}}{4{,}0\times 10^{8}}\\ \text{m}\,\text{s}^{-2} = 4{,}76091\times 10^{-3}\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.
Interpretando: isso é muito pequeno comparado à gravidade da Terra ( \approx 9{,}81\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}), mas faz sentido para um corpo tão pequeno.

Passo 4

Velocidade de escape: derivação física e cálculo.
  • A velocidade de escape a partir da superfície de raio R vem da conservação de energia: energia cinética mínima necessária para que um corpo chegue a infinito com velocidade zero deve igualar a energia potencial gravitacional. Isso leva à fórmula
\frac{1}{2} v_{\rm esc}^{2} = \frac{G M}{R},
ou seja
v_{\rm esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}.
  • Já temos G M e R, então aplicamos diretamente.
Calcular:
2 G M = 2\times 1{,}904364\times 10^{6} = 3{,}808728\times 10^{6}\\ \text{m}^{3}\text{s}^{-2},
\frac{2 G M}{R} = \frac{3{,}808728\times 10^{6}}{2{,}0\times 10^{4}} = 190{,}4364\\ \text{m}^{2}\text{s}^{-2},
v_{\rm esc} = \sqrt{190{,}4364}\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} \approx 13{,}792\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Arredondando de forma prática para a prova, v_{\rm esc}\approx 13{,}8\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 5

Resumo dos resultados numéricos (com comentários breves para ajudar na prova):
  • Usei os dados da órbita para obter G M pela relação \,G M=\omega^{2} r_{\text{orb}}^{3}\,.
  • A partir de G M calculei g com g=G M / R^{2} e v_{\rm esc} com v_{\rm esc}=\sqrt{2 G M / R}.
  • Valores finais foram arredondados com precisão adequada para uma prova manual.

Resposta

g = 4{,}7609\times 10^{-3}\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}
v_{\rm esc} = 13{,}8\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

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