Um satélite em órbita elíptica em torno da Terra tem um periélio de 100 km e um afélio de 10.000 km. Qual é a velocidade orbital do satélite no periélio?

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um satélite que está numa órbita elíptica ao redor da Terra. O periélio é o ponto mais próximo da Terra nessa órbita, e o afélio é o mais distante. Aqui, o periélio é de 100 km e o afélio de 10.000 km. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do satélite quando ele está no periélio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física orbital, mais especificamente da segunda lei de Kepler e das leis de conservação de energia e momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a órbita elíptica tem dois pontos chave: o periélio ($ r_p rp é r_a $). A distância do centro da Terra até esses pontos é a soma do raio da Terra com a altitude dada. O raio médio da Terra é aproximadamente 6.371 km. Então:
ra
rp = 6.371,km + 100,km = 6.471,km

Passo 3

Agora, precisamos determinar a velocidade no periélio. Para isso, vamos usar a conservação do momento angular. A fórmula para a velocidade em qualquer ponto da órbita elíptica é:
v = raizG cdot MTerra ( 2r - 1a )
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional ( G )
  • $ M_{Terra} $ é a massa da Terra ( 6,674 times 10^-11 , m^3/kgcdots^2)
  • $ r $ é a distância do centro da Terra no ponto considerado (no nosso caso, $ r_p $)
  • $ a $ é o semi-eixo maior da órbita elíptica

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o semi-eixo maior ($ a $) da órbita. Ele é a média entre o periélio e o afélio:
a
Convertendo para metros:
a = rp + ra2 = 6.471,km + 16.371,km2 = 11.421,km

Passo 5

Agora, vamos voltar à fórmula da velocidade. Primeiro, vamos converter as distâncias para metros:
rp = 6.471,km times 1.000 = 6.471.000,m
ra = 16.371,km times 1.000 = 16.371.000,m

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da velocidade no periélio:
vp = raiz6,674 times 10^-11 cdot 5,972 times 10^24 ( 26.471.000 - 111.421.000 )
Vamos calcular cada parte passo a passo.

Passo 7

Primeiro, calculamos o produto $ G \cdot M_{Terra} $:
G cdot MTerra

Passo 8

Agora, calculamos os termos dentro do parêntese:
26.471.000 = 3,094 times 10^-7, m^-1
111.421.000 = 8,755 times 10^-8, m^-1
2rp - 1a = 3,094 times 10^-7 - 8,755 times 10^-8 = 2,218 times 10^-7, m^-1

Passo 9

Multiplicando $ G \cdot M_{Terra} $ pelo resultado acima:
G cdot MTerra

Passo 10

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a velocidade no periélio:
vp = raiz8,838 times 10^7 approx 9.4 times 10^3, m/s

Resposta

A velocidade orbital do satélite no periélio é aproximadamente 9.4 km/s.

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