Um satélite em órbita elíptica em torno da Terra tem um periélio de 100 km e um afélio de 10.000 km. Qual é a velocidade orbital do satélite no periélio?
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado fala sobre um satélite que está numa órbita elíptica ao redor da Terra. O periélio é o ponto mais próximo da Terra nessa órbita, e o afélio é o mais distante. Aqui, o periélio é de 100 km e o afélio de 10.000 km. A gente precisa descobrir qual é a velocidade do satélite quando ele está no periélio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física orbital, mais especificamente da segunda lei de Kepler e das leis de conservação de energia e momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a órbita elíptica tem dois pontos chave: o periélio ($ r_p
r_a $). A distância do centro da Terra até esses pontos é a soma do raio da Terra com a altitude dada. O raio médio da Terra é aproximadamente 6.371 km. Então:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a velocidade no periélio. Para isso, vamos usar a conservação do momento angular. A fórmula para a velocidade em qualquer ponto da órbita elíptica é:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional (
) - $ M_{Terra} $ é a massa da Terra (
) - $ r $ é a distância do centro da Terra no ponto considerado (no nosso caso, $ r_p $)
- $ a $ é o semi-eixo maior da órbita elíptica
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o semi-eixo maior ($ a $) da órbita. Ele é a média entre o periélio e o afélio:
Convertendo para metros:
Passo 5
Agora, vamos voltar à fórmula da velocidade. Primeiro, vamos converter as distâncias para metros:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula da velocidade no periélio:
Vamos calcular cada parte passo a passo.
Passo 7
Primeiro, calculamos o produto $ G \cdot M_{Terra} $:
Passo 8
Agora, calculamos os termos dentro do parêntese:
Passo 9
Multiplicando $ G \cdot M_{Terra} $ pelo resultado acima:
Passo 10
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a velocidade no periélio:
Resposta
A velocidade orbital do satélite no periélio é aproximadamente 9.4 km/s.