Um satélite da Terra é observado no perigeu a 250 km acima da sua superfície e viajando a cerca de
. Determine a excentricidade de sua órbita e sua altitude acima da Terra no apogeu. [Sugestão: o raio da Terra é . Você necessitará também saber , mas você pode determinar isso se lembrar que .]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que está no perigeu, ou seja, o ponto mais próximo da Terra na sua órbita, a 250 km acima da superfície. Ele está viajando a aproximadamente
. Nosso objetivo é descobrir a excentricidade da órbita desse satélite e também quão alto ele fica no apogeu, que é o ponto mais distante da Terra na órbita. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da mecânica orbital e conhecimentos sobre o campo gravitacional da Terra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância do satélite ao centro da Terra no perigeu. Sabemos que o raio da Terra é
e o perigeu está 250 km acima da superfície. Então:
Passo 3
Agora, vamos usar a equação vis-viva, que relaciona a velocidade do satélite, a distância ao centro da Terra e o semieixo maior da órbita (
):
Aqui,
e
. Mas precisamos descobrir
.
Passo 4
A sugestão do exercício nos lembra que
, onde
é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar
:
Passo 5
Substituindo os valores na equação vis-viva:
Calculando $ (8500)^2 = 7,225 \times 10^7 , \mathrm{m2/s2} $:
Passo 6
Vamos resolver para $ \frac{1}{a} $:
Passo 7
Com o semieixo maior
e o perigeu
, podemos encontrar a excentricidade
usando a fórmula:
Passo 8
Agora, para encontrar o apogeu (
), usamos:
A altitude acima da superfície no apogeu é:
Resposta
A excentricidade da órbita é aproximadamente
e a altitude do satélite no apogeu é cerca de
acima da superfície da Terra.