Um satélite da Terra é observado no perigeu a 250 km acima da sua superfície e viajando a cerca de 8500 m/s. Determine a excentricidade de sua órbita e sua altitude acima da Terra no apogeu. [Sugestão: o raio da Terra é . Você necessitará também saber , mas você pode determinar isso se lembrar que .]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um satélite que está no perigeu, ou seja, o ponto mais próximo da Terra na sua órbita, a 250 km acima da superfície. Ele está viajando a aproximadamente 8500 , m/s. Nosso objetivo é descobrir a excentricidade da órbita desse satélite e também quão alto ele fica no apogeu, que é o ponto mais distante da Terra na órbita. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas da mecânica orbital e conhecimentos sobre o campo gravitacional da Terra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância do satélite ao centro da Terra no perigeu. Sabemos que o raio da Terra é Rt = 6,4 times 10^6 , m e o perigeu está 250 km acima da superfície. Então:
rp = Rt + 250 times 10^3 , m = 6,4 times 10^6 , m + 2,5 times 10^5 , m = 6,65 times 10^6 , m

Passo 3

Agora, vamos usar a equação vis-viva, que relaciona a velocidade do satélite, a distância ao centro da Terra e o semieixo maior da órbita ( a):
v^2 = GMt ( 2r - 1a )
Aqui, v = 8500 , m/s e r = rp = 6,65 times 10^6 , m. Mas precisamos descobrir GMt.

Passo 4

A sugestão do exercício nos lembra que GMt / Rt^2 = g, onde g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade na superfície da Terra. Vamos rearranjar essa fórmula para encontrar GMt:
GMt = g times Rt^2 = 9,8 , m/s^2 times (6,4 times 10^6 , m)^2
GMt = 9,8 times 4,096 times 10^13 , m^3/s^2 = 4,01408 times 10^14 , m^3/s^2

Passo 5

Substituindo os valores na equação vis-viva:
(8500)^2 = 4,01408 times 10^14 ( 26,65 times 10^6 - 1a )
Calculando $ (8500)^2 = 7,225 \times 10^7 , \mathrm{m2/s2} $:
(8500)^2 = 7,225 times 10^7 , m^2/s^2

Passo 6

Vamos resolver para $ \frac{1}{a} $:
1a
26,65 times 10^6 - 1a = 7,225 times 10^74,01408 times 10^14
26,65 times 10^6 - 1a approx 1,802 times 10^-7
1a = 26,65 times 10^6 - 1,802 times 10^-7
1a approx 3,0075 times 10^-7 - 1,802 times 10^-7 = 1,2055 times 10^-7

Passo 7

Com o semieixo maior a = 8,29 times 10^6 , m e o perigeu rp = 6,65 times 10^6 , m, podemos encontrar a excentricidade e usando a fórmula:
rp = a(1 - e)
6,65 times 10^6 = 8,29 times 10^6 (1 - e)
1 - e = 6,658,29 approx 0,801
e approx 1 - 0,801 = 0,199

Passo 8

Agora, para encontrar o apogeu ( ra), usamos:
ra = a(1 + e) = 8,29 times 10^6 times (1 + 0,199) = 8,29 times 10^6 times 1,199 approx 9,93 times 10^6 , m
A altitude acima da superfície no apogeu é:
A=u = ra - Rt = 9,93 times 10^6 - 6,4 times 10^6 = 3,53 times 10^6 , m approx 3530 , km

Resposta

A excentricidade da órbita é aproximadamente 0,199 e a altitude do satélite no apogeu é cerca de 3530 , km acima da superfície da Terra.

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