Uma fonte de ondas de rádio, com frequiência em repouso de 188 MHz , está se movendo com uma velocidade de 0,717 c transversalmente à linha de visão de um detector. Com que ângulo em relação à linha de visão, uma segunda fonte, movendo-se também a 0,717 c e com uma freqüência em repouso de 162 MHz , deve estar posicionada de modo que as freqüências das duas fontes sejam recebidas no detector como sendo iguais?

Passo 1

O enunciado envolve duas fontes emissoras de ondas de rádio com frequências de repouso \,f_{01}=188\text{ MHz} e \,f_{02}=162\text{ MHz}. Ambas movem-se à velocidade v=0,717\,c. A primeira fonte está se movendo transversalmente à linha de visão do detector (ângulo de 90^\circ), e a segunda forma um ângulo \theta com a linha de visão. O objetivo é achar \theta tal que as frequências recebidas do detector sejam iguais. O conteúdo necessário é o efeito Doppler relativístico para fonte em movimento.

Passo 2

Calculamos primeiro o fator de Lorentz
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
onde \beta = v/c = 0,717. Assim
\beta^2 = (0,717)^2 \approx 0,514,\quad 1-\beta^2 \approx 0,486,\quad \gamma \approx \frac{1}{\sqrt{0,486}}\approx1,435.

Passo 3

Para a fonte que se move transversalmente ( \theta_1=90^\circ), o Doppler relativístico dá apenas dilatação do tempo, isto é
f_{1,\text{obs}} =\frac{f_{01}}{\gamma} =\frac{188\text{ MHz}}{1,435} \approx131{,}0\text{ MHz}.

Passo 4

Para a segunda fonte, num ângulo \theta com a linha de visão, a frequência observada é
f_{2,\text{obs}} =\frac{f_{02}}{\gamma\bigl(1-\beta\cos\theta\bigr)}.
Queremos f_{2,\text{obs}}=f_{1,\text{obs}}. Substituindo,
\frac{162}{\gamma\,(1-\beta\cos\theta)} =\frac{188}{\gamma}.
Cancelando \gamma e isolando 1-\beta\cos\theta,
1-\beta\cos\theta =\frac{162}{188} \approx0,8617.

Passo 5

Dessa igualdade segue
\beta\cos\theta =1-0,8617 \approx0,1383,
logo
\cos\theta =\frac{0,1383}{0,717} \approx0,1929.
Finalmente,
\theta=\operatorname{arccos}(0,1929) \approx78{,}9^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta\approx79^\circ em relação à linha de visão.

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