Um campo elétrico no vácuo, que depende da coordenada x e do tempo t, aponta na direção \hat{y} e é dado pela a seguinte expressão \vec{E}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\mathrm{A} \cos (\mathrm{kx}+\omega \mathrm{t}-\delta) \hat{y}, onde \mathrm{A}, \mathrm{k}, \omega \mathrm{e} \delta são constantes. Considerando conhecidos \mu_{0} e \epsilon_{0}, pede-se:
a) Partindo das equações de Maxwell, determinar o campo magnético \vec{B} sabendo que este depende de x et e das constantes do enunciado acima.
b) Determinar o vetor de Poynting correspondente \vec{S} em função de x e t e das constantes do enunciado acima.
c) Determinar a densidade de energia dos campos elétrico e magnético em função de x e t e das constantes do enunciado.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda eletromagnética no vácuo com
\vec E(x,t)=A\cos\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr)\,\hat y
em que A, k, \omega e \delta são constantes. Vamos usar as equações de Maxwell no vácuo,
\nabla\times \vec E=-\frac{\partial \vec B}{\partial t}, \qquad \nabla\times \vec B=\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \vec E}{\partial t},
para achar \vec B. Depois calculamos o vetor de Poynting \displaystyle \vec S=\frac{1}{\mu_0}\,\vec E\times\vec B
e, finalmente, as densidades de energia \displaystyle u_E=\frac{\epsilon_0}{2}E^2 e \displaystyle u_B=\frac{1}{2\mu_0}B^2.

Passo 2

Como \vec E só varia em x e está na direção \hat y, seu rotor tem só componente em z:
(\nabla\times\vec E)_z =\frac{\partial E_y}{\partial x} =-A\,k\sin(kx+\omega t-\delta).
Da lei de Faraday \nabla\times\vec E=-\partial\vec B/\partial t, supondo \vec B=B_z(x,t)\,\hat z, temos
-A\,k\sin\varphi =-\frac{\partial B_z}{\partial t} =-\bigl(-\omega B_0\sin\varphi\bigr) =\omega B_0\sin\varphi,
onde \varphi=kx+\omega t-\delta e B_z=B_0\cos\varphi.

Passo 3

Igualando coeficientes em -A\,k=\omega B_0, obtemos
B_0=-\frac{A\,k}{\omega} =-\frac{A}{c},
já que em vácuo c=\omega/k=1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}. Logo
\boxed{ \vec B(x,t) =-\frac{A}{c}\,\cos\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr)\,\hat z. }

Passo 4

O vetor de Poynting é
\vec S=\frac{1}{\mu_0}\,\vec E\times\vec B =\frac{1}{\mu_0}\Bigl[A\cos\varphi\,\hat y\Bigr] \times\Bigl[-\frac{A}{c}\cos\varphi\,\hat z\Bigr].
Como \hat y\times\hat z=\hat x, vem
\vec S =-\frac{A^2}{\mu_0\,c}\,\cos^2\varphi\;\hat x.

Passo 5

As densidades de energia são
u_E=\frac{\epsilon_0}{2}E^2 =\frac{\epsilon_0}{2}\,A^2\cos^2\varphi, \qquad u_B=\frac{1}{2\mu_0}B^2 =\frac{1}{2\mu_0}\,\frac{A^2}{c^2}\,\cos^2\varphi =\frac{\epsilon_0}{2}\,A^2\cos^2\varphi.
Portanto a densidade total é
\boxed{ u=u_E+u_B =\epsilon_0\,A^2\cos^2\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr). }

Resposta

a) \displaystyle \vec B(x,t) =-\frac{A}{c}\,\cos\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr)\,\hat z.
b) \displaystyle \vec S(x,t) =-\frac{A^2}{\mu_0\,c}\,\cos^2\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr)\,\hat x.
c) \displaystyle u_E=\frac{\epsilon_0 A^2}{2}\cos^2\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr),\quad u_B=\frac{\epsilon_0 A^2}{2}\cos^2\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr),\quad u=\epsilon_0A^2\cos^2\bigl(kx+\omega t-\delta\bigr).

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