Saturno está cerca de seis vezes mais distante do Sol do que Marte. Qual dos dois planetas tem (a) o maior período orbital, (b) a maior velocidade orbital e (c) a maior velocidade angular orbital?
Passo 1
O enunciado dá a relação entre as distâncias médias ao Sol dos dois planetas e pede três comparações. Dados e perguntas (peguei a razão das distâncias do enunciado):
- Dado:
, onde é a distância média de Saturno ao Sol e a de Marte. - Perguntas:
(a) Qual planeta tem o maior período orbital?
(b) Qual tem a maior velocidade orbital (velocidade linear tangencial)?
(c) Qual tem a maior velocidade angular orbital ()?
Passo 2
Vamos entender as quantidades envolvidas e as fórmulas físicas que conectam distância ao Sol com período e velocidades. Para órbitas quase circulares (boa aproximação para essa comparação) usamos a igualdade entre força gravitacional e força centrípeta:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do Sol, -
é a massa do planeta (cancela na equação), -
é o raio da órbita, -
é a velocidade orbital linear do planeta.
Da equação acima, isolando
, obtemos a velocidade orbital:
O período orbital
(tempo para dar uma volta completa) relaciona-se com
por
. Substituindo
dá:
Dessa expressão segue a forma conhecida de Kepler:
ou seja,
.
A velocidade angular
(em rad/s) é
. Usando
:
Resumo das dependências (importante para comparar sem precisar dos valores numéricos de
e
):
-
. -
. -
.
Passo 3
Agora usemos a razão
para comparar os três itens por meio de razões entre Saturno (S) e Marte (M).
Para o período:
Calcule
:
Portanto
. Conclusão imediata: Saturno tem período muito maior que Marte.
Passo 4
Para a velocidade linear:
Ou seja,
. Conclusão: Marte possui velocidade orbital linear maior que Saturno.
Passo 5
Para a velocidade angular:
Então
. Conclusão: Marte tem velocidade angular orbital muito maior que Saturno.
Passo 6
Interpretação em linguagem direta (pra usar na prova): como o período cresce com
, objetos mais distantes demoram muito mais a completar uma volta. Como a velocidade linear decresce com
, objetos mais próximos se movem mais rápido linearmente. E como a velocidade angular decresce ainda mais rápido com
, objetos mais próximos giram muito mais rápido em termos de ângulo por unidade de tempo.
Resposta
(a) Saturno
(b) Marte
(c) Marte
(b) Marte
(c) Marte