Saturno está cerca de seis vezes mais distante do Sol do que Marte. Qual dos dois planetas tem (a) o maior período orbital, (b) a maior velocidade orbital e (c) a maior velocidade angular orbital?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre as distâncias médias ao Sol dos dois planetas e pede três comparações. Dados e perguntas (peguei a razão das distâncias do enunciado):
  • Dado: r_{\rm S} = 6\,r_{\rm M}, onde r_{\rm S} é a distância média de Saturno ao Sol e r_{\rm M} a de Marte.
  • Perguntas:
    (a) Qual planeta tem o maior período orbital?
    (b) Qual tem a maior velocidade orbital (velocidade linear tangencial)?
    (c) Qual tem a maior velocidade angular orbital ( \omega)?

Passo 2

Vamos entender as quantidades envolvidas e as fórmulas físicas que conectam distância ao Sol com período e velocidades. Para órbitas quase circulares (boa aproximação para essa comparação) usamos a igualdade entre força gravitacional e força centrípeta:
\frac{G M m}{r^2}=\frac{m v^2}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do Sol,
  • m é a massa do planeta (cancela na equação),
  • r é o raio da órbita,
  • v é a velocidade orbital linear do planeta.
Da equação acima, isolando v, obtemos a velocidade orbital:
v=\sqrt{\frac{G M}{r}}.
O período orbital T (tempo para dar uma volta completa) relaciona-se com v por T= \dfrac{2\pi r}{v}. Substituindo v dá:
T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G M}}.
Dessa expressão segue a forma conhecida de Kepler:
T^2 \propto r^3,
ou seja, T\propto r^{3/2}.
A velocidade angular \omega (em rad/s) é \omega=\dfrac{v}{r}. Usando v=\sqrt{GM/r}:
\omega=\sqrt{\frac{G M}{r^3}}.
Resumo das dependências (importante para comparar sem precisar dos valores numéricos de G e M):
  • T\propto r^{3/2}.
  • v\propto r^{-1/2}.
  • \omega\propto r^{-3/2}.

Passo 3

Agora usemos a razão r_{\rm S}=6\,r_{\rm M} para comparar os três itens por meio de razões entre Saturno (S) e Marte (M).
Para o período:
\frac{T_{\rm S}}{T_{\rm M}}=\left(\frac{r_{\rm S}}{r_{\rm M}}\right)^{3/2}=6^{3/2}.
Calcule 6^{3/2}:
6^{3/2}=6^{1}\cdot6^{1/2}=6\sqrt{6}\approx6\times2{,}449\approx14{,}697.
Portanto T_{\rm S}\approx14{,}7\,T_{\rm M}. Conclusão imediata: Saturno tem período muito maior que Marte.

Passo 4

Para a velocidade linear:
\frac{v_{\rm S}}{v_{\rm M}}=\left(\frac{r_{\rm S}}{r_{\rm M}}\right)^{-1/2}=6^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx0{,}408.
Ou seja, v_{\rm S}\approx0{,}408\,v_{\rm M}. Conclusão: Marte possui velocidade orbital linear maior que Saturno.

Passo 5

Para a velocidade angular:
\frac{\omega_{\rm S}}{\omega_{\rm M}}=\left(\frac{r_{\rm S}}{r_{\rm M}}\right)^{-3/2}=6^{-3/2}=\frac{1}{6\sqrt{6}}\approx\frac{1}{14{,}697}\approx0{,}0680.
Então \omega_{\rm S}\approx0{,}068\,\omega_{\rm M}. Conclusão: Marte tem velocidade angular orbital muito maior que Saturno.

Passo 6

Interpretação em linguagem direta (pra usar na prova): como o período cresce com r^{3/2}, objetos mais distantes demoram muito mais a completar uma volta. Como a velocidade linear decresce com r^{-1/2}, objetos mais próximos se movem mais rápido linearmente. E como a velocidade angular decresce ainda mais rápido com r^{-3/2}, objetos mais próximos giram muito mais rápido em termos de ângulo por unidade de tempo.

Resposta

(a) Saturno
(b) Marte
(c) Marte

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